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        巧斷金鏈中學(xué)趣味數(shù)學(xué)教案

        時(shí)間:2024-06-21 21:03:22

        巧斷金鏈中學(xué)趣味數(shù)學(xué)教案

        巧斷金鏈中學(xué)趣味數(shù)學(xué)教案

        巧斷金鏈中學(xué)趣味數(shù)學(xué)教案

          巧斷金鏈中學(xué)趣味數(shù)學(xué)教案

          一位來(lái)自阿肯色州的年輕太太格羅麗亞,正在加利福尼亞州旅行.她想在旅館租用一個(gè)房間,租期一周.辦事員此時(shí)正心緒不佳。辦事員:房費(fèi)每天20元,要付現(xiàn)錢(qián).格羅麗亞:很抱歉,先生,我沒(méi)帶現(xiàn)錢(qián).但是我有一根金鏈,共7節(jié),每節(jié)都值20元以上.辦事員:好吧,把金鏈給我.格羅麗亞:現(xiàn)在不能給你.我得請(qǐng)珠寶匠把金鏈割斷,每天給你一節(jié),等到周末我有了現(xiàn)錢(qián)再把金鏈贖回.辦事員終于同意了,但格羅麗亞必須決定如何斷開(kāi)金鏈的方法.格羅麗亞:我該三思而行,因?yàn)橹閷毥呈前凑账懈詈鸵院笾匦逻B接的節(jié)數(shù)來(lái)索價(jià)的.格羅麗亞想了一下,悟到她不必把每一節(jié)都割斷,因?yàn)樗梢园岩欢味谓疰湏Q進(jìn)換出,以這種方式來(lái)付房費(fèi).當(dāng)她算出需要請(qǐng)珠寶匠割斷的節(jié)數(shù)時(shí),她幾乎不能自信。你想一想需要割開(kāi)多少節(jié)?

          只需要割開(kāi)一節(jié)。這一節(jié)應(yīng)是從一端數(shù)起的第三節(jié).把金鏈斷開(kāi)成1節(jié),2節(jié),4節(jié)這樣三段后就能以換進(jìn)換出的方式每天付給辦事員一節(jié)作為房費(fèi)。

          啊哈!領(lǐng)悟到下列兩點(diǎn)才能解題.第一,至少需要有1節(jié),2節(jié),4節(jié)這樣三段(即其節(jié)數(shù)成二重級(jí)數(shù)的一些段),這樣才能以各種不同的組合方式組成1節(jié),2節(jié),3節(jié),4節(jié),5節(jié),6節(jié)和7節(jié).我們?cè)谒幤坊靵y問(wèn)題中已經(jīng)知道,這就是作為二進(jìn)制記數(shù)法基礎(chǔ)的冪級(jí)數(shù).

          第二,只需要割開(kāi)一節(jié)就可以把金鏈分成符合要求的三段.關(guān)于這個(gè)問(wèn)題,若把金鏈的長(zhǎng)度增加,則可以想出一些新的問(wèn)題.例如,假設(shè)格羅麗亞有一根63節(jié)的金鏈,她想把金鏈割開(kāi),以上面那種方式來(lái)付63天的房費(fèi)(價(jià)格不變).要達(dá)到此種目的只需要割開(kāi)三節(jié).你想出來(lái)了嗎?你能否根據(jù)金鏈的不同長(zhǎng)度設(shè)計(jì)一個(gè)通用的解題程序,要求分割開(kāi)的節(jié)數(shù)為最少?

          有一個(gè)有趣的變相問(wèn)題:若所經(jīng)手的n節(jié)首尾相連的閉合回路,例如說(shuō)格羅麗亞有一串金項(xiàng)鏈,由79節(jié)相連而成,若每天房費(fèi)為一節(jié),試問(wèn)最少需要分割開(kāi)幾節(jié)才能支付79天房費(fèi)?

          所有這些問(wèn)題都跟二進(jìn)制記數(shù)法有密切的關(guān)系.比如格羅麗亞的63節(jié)金項(xiàng)鏈如何分割?只要將63化成二進(jìn)制表示:等于111111即63=1+2+4+8+16+32只要將從第二節(jié)開(kāi)始的兩節(jié)割開(kāi),再將從第八節(jié)開(kāi)始的八節(jié)割下來(lái),和從第32節(jié)開(kāi)始的32節(jié)割下來(lái)即可,這樣就有了從1,2,3,4,5,6,直到63的所有節(jié)數(shù).一般地,若有n節(jié)金鏈,n是形如2k-1類(lèi)型的數(shù),將n化成二進(jìn)制表示,再將所有1的位置所代表的2的冪的數(shù)相間隔地割開(kāi)即可達(dá)到目的.但是對(duì)于其他任意類(lèi)型的數(shù),卻不能奏效,比如對(duì)于格羅麗亞的79節(jié)金項(xiàng)鏈,79的二進(jìn)制記數(shù)法表示為1001111.即79=1+2+4+8+0+0+64,這樣從1到15都能表示,可是從16到63都沒(méi)法表示,我把這個(gè)問(wèn)題做到這里,也一時(shí)糊涂起來(lái),但這個(gè)問(wèn)題畢竟不是很復(fù)雜,咱們也學(xué)一學(xué)閔科夫斯基在課堂上口出狂言要解決四色問(wèn)題的勁頭,摸索著來(lái)解決一把.咱們可以這樣:你不是要求節(jié)數(shù)最少嗎?假設(shè)n=a+b其中a是已經(jīng)找到的最大的那一節(jié)數(shù),b是比n小的已經(jīng)解決了的金鏈問(wèn)題,由于b已經(jīng)解決,因此b的拆分能夠表示從1,2,3,...b-1,b的所有金鏈節(jié)數(shù),而再大一些的數(shù)就不能夠表示了,比如b+1,所以必須要a參加進(jìn)來(lái),如果n是奇數(shù),可令a=b+1,這樣n=2b+1,所以b=(n-1)/2,a=(n+1)/2,這樣就找到了最大的一節(jié)的節(jié)數(shù)a,然后對(duì)b=(n-1)/2繼續(xù)應(yīng)用如上的辦法,即可解決問(wèn)題.如果n是偶數(shù),可令a=b,這樣雖然a本身不能表示出b+1,但是可以從b的拆分中拿出一個(gè)1來(lái)(這個(gè)1是必須存在的,因?yàn)橐硎緩?,2,3,...b-1,b的所有數(shù))與a組成a+1也就是b+1.所以n=a+b=2a=2b,a=b=n/2.這樣也找到了n為偶數(shù)時(shí)最大的一節(jié)金鏈的節(jié)數(shù).對(duì)于b繼續(xù)如上的過(guò)程,就可以找到全部應(yīng)該斷開(kāi)的金鏈節(jié)數(shù),我算出了從1到15的所有拆分如下:

          1=1

          2=1+1

          3=1+2

          4=1+1+2

          5=1+1+3

          6=1+2+3

          7=1+2+4

          8=1+1+2+4

          9=1+1+2+5

          10=1+1+3+5

          11=1+1+3+6

          12=1+2+3+6

          13=1+2+3+7

          14=1+2+4+7

          15=1+2+4+8

          對(duì)于上面的格羅麗亞太太的79節(jié)金項(xiàng)鏈,79+1=80,80/2=40,所以最大的一節(jié)就是40節(jié),79-40=39,39+1=40,40/2=20,所以第二大的一節(jié)就是20節(jié),39-20=19,19+1=20,20/2=10,第三大的一節(jié)是10節(jié),19-10=9,9+1=10,10/2=5,又找到了一節(jié)是5,9-5=4,4的表示法如上已經(jīng)列出來(lái)了:4=1+1+2.最后得到79節(jié)的金項(xiàng)鏈的分割法:1,1,2,5,10,20,40.過(guò)去我也碰到過(guò)一道類(lèi)似的題,是23節(jié)金項(xiàng)鏈,也能夠很容易地解決:23+1=24,24/2=12;23-12=11,11=1+1+3+6;所以23的分割法為:1,1,3,6,12.顯然,對(duì)于2k-1類(lèi)型的數(shù),用這里的辦法與用二進(jìn)制記數(shù)法得出的結(jié)果是一致的.

          從上面所列出的拆分法可以看出,如果2k=2k+1,那么n一定要用k+1個(gè)數(shù)來(lái)表示,即:n=a0+a1+a2+...+ak.

          可以用數(shù)學(xué)歸納法很容易地證明這是正確的.那么還有沒(méi)有比這更少的分割法呢?可以證明沒(méi)有了.從我們的分析方法中可以看出,這是一個(gè)構(gòu)造性的推理過(guò)程,假如還有比這更少的分割法,那么相當(dāng)于在表達(dá)式n=a0+a1+a2+...+ak.中進(jìn)行了某些組合,比如將a1+a2合并成新的a1,那么原來(lái)的有些組合就表示不出來(lái)了,例如a0+a2,就沒(méi)有辦法組合了.當(dāng)然,一個(gè)數(shù)的拆分不是唯一的,前面的23節(jié)金鏈還可以分成1,2,3,6,11.你可以試試,這種分割法照樣能滿(mǎn)足要求.前面的分析中也可以把(n-1)/2留下來(lái)作為最大的節(jié)數(shù),但是這樣分出來(lái)的節(jié)數(shù)就不一定都是最少的了,例如把15這樣分割,會(huì)得到:1,1,2,4,7.雖然能夠滿(mǎn)足付房費(fèi)的要求,但是就不是最優(yōu)解了.最后總結(jié)一下,把前面的算法過(guò)程公式化可以得到:

          k-1r-1k-1

          n=(n+c0)/2+{[n-cs2s+cr2r]/2r+1}+[n-cr2r]/2k

          r=1s=0r=0

          其中c0,c1,...ck-1等等是1或是0取決于每一步得出的數(shù)的奇偶性.其實(shí)最后一項(xiàng)等于1,這樣可以得出:

          k-1

          n-2k=cr2r

          r=0

          a0=(n+c0)/2

          i-1

          ai=[n-cs2s+ci2i]/2i+11(i=1,2,3,...k-1)

          s=0

          ak=1

          當(dāng)然,編成計(jì)算機(jī)程序還是用遞歸程序比較簡(jiǎn)單.這里列出這些公式是為了保留存照。

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              一位來(lái)自阿肯色州的年輕太太格羅麗亞,正在加利福尼亞州旅行.她想在旅館租用一個(gè)房間,租期一周.辦事員此時(shí)正心緒不佳。辦事員:房費(fèi)每天20元,要付現(xiàn)錢(qián).格羅麗亞:很抱歉,先生,我沒(méi)帶現(xiàn)錢(qián).但是我有一根金鏈,共7節(jié),每節(jié)都值20元以上.辦事員:好吧,把金鏈給我.格羅麗亞:現(xiàn)在不能給你.我得請(qǐng)珠寶匠把金鏈割斷,每天給你一節(jié),等到周末我有了現(xiàn)錢(qián)再把金鏈贖回.辦事員終于同意了,但格羅麗亞必須決定如何斷開(kāi)金鏈的方法.格羅麗亞:我該三思而行,因?yàn)橹閷毥呈前凑账懈詈鸵院笾匦逻B接的節(jié)數(shù)來(lái)索價(jià)的.格羅麗亞想了一下,悟到她不必把每一節(jié)都割斷,因?yàn)樗梢园岩欢味谓疰湏Q進(jìn)換出,以這種方式來(lái)付房費(fèi).當(dāng)她算出需要請(qǐng)珠寶匠割斷的節(jié)數(shù)時(shí),她幾乎不能自信。你想一想需要割開(kāi)多少節(jié)?

              只需要割開(kāi)一節(jié)。這一節(jié)應(yīng)是從一端數(shù)起的第三節(jié).把金鏈斷開(kāi)成1節(jié),2節(jié),4節(jié)這樣三段后就能以換進(jìn)換出的方式每天付給辦事員一節(jié)作為房費(fèi)。

              啊哈!領(lǐng)悟到下列兩點(diǎn)才能解題.第一,至少需要有1節(jié),2節(jié),4節(jié)這樣三段(即其節(jié)數(shù)成二重級(jí)數(shù)的一些段),這樣才能以各種不同的組合方式組成1節(jié),2節(jié),3節(jié),4節(jié),5節(jié),6節(jié)和7節(jié).我們?cè)谒幤坊靵y問(wèn)題中已經(jīng)知道,這就是作為二進(jìn)制記數(shù)法基礎(chǔ)的冪級(jí)數(shù).

              第二,只需要割開(kāi)一節(jié)就可以把金鏈分成符合要求的三段.關(guān)于這個(gè)問(wèn)題,若把金鏈的長(zhǎng)度增加,則可以想出一些新的問(wèn)題.例如,假設(shè)格羅麗亞有一根63節(jié)的金鏈,她想把金鏈割開(kāi),以上面那種方式來(lái)付63天的房費(fèi)(價(jià)格不變).要達(dá)到此種目的只需要割開(kāi)三節(jié).你想出來(lái)了嗎?你能否根據(jù)金鏈的不同長(zhǎng)度設(shè)計(jì)一個(gè)通用的解題程序,要求分割開(kāi)的節(jié)數(shù)為最少?

              有一個(gè)有趣的變相問(wèn)題:若所經(jīng)手的n節(jié)首尾相連的閉合回路,例如說(shuō)格羅麗亞有一串金項(xiàng)鏈,由79節(jié)相連而成,若每天房費(fèi)為一節(jié),試問(wèn)最少需要分割開(kāi)幾節(jié)才能支付79天房費(fèi)?

              所有這些問(wèn)題都跟二進(jìn)制記數(shù)法有密切的關(guān)系.比如格羅麗亞的63節(jié)金項(xiàng)鏈如何分割?只要將63化成二進(jìn)制表示:等于111111即63=1+2+4+8+16+32只要將從第二節(jié)開(kāi)始的兩節(jié)割開(kāi),再將從第八節(jié)開(kāi)始的八節(jié)割下來(lái),和從第32節(jié)開(kāi)始的32節(jié)割下來(lái)即可,這樣就有了從1,2,3,4,5,6,直到63的所有節(jié)數(shù).一般地,若有n節(jié)金鏈,n是形如2k-1類(lèi)型的數(shù),將n化成二進(jìn)制表示,再將所有1的位置所代表的2的冪的數(shù)相間隔地割開(kāi)即可達(dá)到目的.但是對(duì)于其他任意類(lèi)型的數(shù),卻不能奏效,比如對(duì)于格羅麗亞的79節(jié)金項(xiàng)鏈,79的二進(jìn)制記數(shù)法表示為1001111.即79=1+2+4+8+0+0+64,這樣從1到15都能表示,可是從16到63都沒(méi)法表示,我把這個(gè)問(wèn)題做到這里,也一時(shí)糊涂起來(lái),但這個(gè)問(wèn)題畢竟不是很復(fù)雜,咱們也學(xué)一學(xué)閔科夫斯基在課堂上口出狂言要解決四色問(wèn)題的勁頭,摸索著來(lái)解決一把.咱們可以這樣:你不是要求節(jié)數(shù)最少嗎?假設(shè)n=a+b其中a是已經(jīng)找到的最大的那一節(jié)數(shù),b是比n小的已經(jīng)解決了的金鏈問(wèn)題,由于b已經(jīng)解決,因此b的拆分能夠表示從1,2,3,...b-1,b的所有金鏈節(jié)數(shù),而再大一些的數(shù)就不能夠表示了,比如b+1,所以必須要a參加進(jìn)來(lái),如果n是奇數(shù),可令a=b+1,這樣n=2b+1,所以b=(n-1)/2,a=(n+1)/2,這樣就找到了最大的一節(jié)的節(jié)數(shù)a,然后對(duì)b=(n-1)/2繼續(xù)應(yīng)用如上的辦法,即可解決問(wèn)題.如果n是偶數(shù),可令a=b,這樣雖然a本身不能表示出b+1,但是可以從b的拆分中拿出一個(gè)1來(lái)(這個(gè)1是必須存在的,因?yàn)橐硎緩?,2,3,...b-1,b的所有數(shù))與a組成a+1也就是b+1.所以n=a+b=2a=2b,a=b=n/2.這樣也找到了n為偶數(shù)時(shí)最大的一節(jié)金鏈的節(jié)數(shù).對(duì)于b繼續(xù)如上的過(guò)程,就可以找到全部應(yīng)該斷開(kāi)的金鏈節(jié)數(shù),我算出了從1到15的所有拆分如下:

              1=1

              2=1+1

              3=1+2

              4=1+1+2

              5=1+1+3

              6=1+2+3

              7=1+2+4

              8=1+1+2+4

              9=1+1+2+5

              10=1+1+3+5

              11=1+1+3+6

              12=1+2+3+6

              13=1+2+3+7

              14=1+2+4+7

              15=1+2+4+8

              對(duì)于上面的格羅麗亞太太的79節(jié)金項(xiàng)鏈,79+1=80,80/2=40,所以最大的一節(jié)就是40節(jié),79-40=39,39+1=40,40/2=20,所以第二大的一節(jié)就是20節(jié),39-20=19,19+1=20,20/2=10,第三大的一節(jié)是10節(jié),19-10=9,9+1=10,10/2=5,又找到了一節(jié)是5,9-5=4,4的表示法如上已經(jīng)列出來(lái)了:4=1+1+2.最后得到79節(jié)的金項(xiàng)鏈的分割法:1,1,2,5,10,20,40.過(guò)去我也碰到過(guò)一道類(lèi)似的題,是23節(jié)金項(xiàng)鏈,也能夠很容易地解決:23+1=24,24/2=12;23-12=11,11=1+1+3+6;所以23的分割法為:1,1,3,6,12.顯然,對(duì)于2k-1類(lèi)型的數(shù),用這里的辦法與用二進(jìn)制記數(shù)法得出的結(jié)果是一致的.

              從上面所列出的拆分法可以看出,如果2k=2k+1,那么n一定要用k+1個(gè)數(shù)來(lái)表示,即:n=a0+a1+a2+...+ak.

              可以用數(shù)學(xué)歸納法很容易地證明這是正確的.那么還有沒(méi)有比這更少的分割法呢?可以證明沒(méi)有了.從我們的分析方法中可以看出,這是一個(gè)構(gòu)造性的推理過(guò)程,假如還有比這更少的分割法,那么相當(dāng)于在表達(dá)式n=a0+a1+a2+...+ak.中進(jìn)行了某些組合,比如將a1+a2合并成新的a1,那么原來(lái)的有些組合就表示不出來(lái)了,例如a0+a2,就沒(méi)有辦法組合了.當(dāng)然,一個(gè)數(shù)的拆分不是唯一的,前面的23節(jié)金鏈還可以分成1,2,3,6,11.你可以試試,這種分割法照樣能滿(mǎn)足要求.前面的分析中也可以把(n-1)/2留下來(lái)作為最大的節(jié)數(shù),但是這樣分出來(lái)的節(jié)數(shù)就不一定都是最少的了,例如把15這樣分割,會(huì)得到:1,1,2,4,7.雖然能夠滿(mǎn)足付房費(fèi)的要求,但是就不是最優(yōu)解了.最后總結(jié)一下,把前面的算法過(guò)程公式化可以得到:

              k-1r-1k-1

              n=(n+c0)/2+{[n-cs2s+cr2r]/2r+1}+[n-cr2r]/2k

              r=1s=0r=0

              其中c0,c1,...ck-1等等是1或是0取決于每一步得出的數(shù)的奇偶性.其實(shí)最后一項(xiàng)等于1,這樣可以得出:

              k-1

              n-2k=cr2r

              r=0

              a0=(n+c0)/2

              i-1

              ai=[n-cs2s+ci2i]/2i+11(i=1,2,3,...k-1)

              s=0

              ak=1

              當(dāng)然,編成計(jì)算機(jī)程序還是用遞歸程序比較簡(jiǎn)單.這里列出這些公式是為了保留存照。