應(yīng)用性試題的類型及解題思路
應(yīng)用性試題的類型及解題思路
《課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“讓親身經(jīng)歷將實際問題抽象成模型并進行解釋的同時，在、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進步和發(fā)展�！睘槁鋵嵾@一理念，近年來加強了對應(yīng)用意識及解決實際問題的考查，其份量有越來越重的趨勢。應(yīng)用問題有多種類型，下面著重展示如下六種應(yīng)用性，并對其解題思路加以分析。
一、方程（組）應(yīng)用題
這類問題是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的最基本的問題，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度更準(zhǔn)確、更清晰地認識、描述和把握現(xiàn)實世界。諸如行程、增長率、儲蓄、利息、稅率、工程施工及勞力分配等問題，都可以通過列方程（組）來解決。
例1. 某共有5個大餐廳和2個小餐廳，經(jīng)過測試：同時開放1個大餐廳、2個小餐廳，可供1680名學(xué)生就餐：同時開放2個大餐廳、1個小餐廳，可供2280名學(xué)生就餐。
�。�1）求1個大餐廳、1個小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐；
�。�2）若7個餐廳同時開放，能否供全校的5300名學(xué)生就餐？請說明理由。
解：（1）設(shè)1個大餐廳可供x名學(xué)生就餐，1個小餐廳可供y名學(xué)生就餐，根據(jù)題意
得
解這個方程組，得
所以1個大餐廳可供960名學(xué)生就餐，1個小餐廳可供360名學(xué)生就餐。
（2）因為，所以如果同時開放7個餐廳，能夠供全校的5300名學(xué)生就餐。
二、不等式（組）應(yīng)用題
生活中的不等關(guān)系是普遍存在的，許多現(xiàn)實問題很難確定具體的數(shù)值，但可以求出或確定某個量的變化范圍，從而對所研究的問題有一個比較清楚的認識。市場營銷、生產(chǎn)決策和社會生活中有關(guān)統(tǒng)籌安排、最佳決策、最優(yōu)化等問題常用不等式（組）應(yīng)用題來解決。
例2. 市“康智”牛奶乳業(yè)有限公司經(jīng)過市場調(diào)研，決定從明年起對甲、乙兩種產(chǎn)品實行“限量生產(chǎn)”，要求這兩種產(chǎn)品全年共新增產(chǎn)量20件，這20件的總產(chǎn)值p（萬元）滿足；110
。已知有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，那么該公司明年應(yīng)怎樣安排新增產(chǎn)品的產(chǎn)量？
解：設(shè)該公司安排生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品x件，那么生產(chǎn)新增乙產(chǎn)品件，由題意，得。
解這個不等式組，得
依題意，得
當(dāng)時，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
所以該公司明年可安排生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品11件，乙產(chǎn)品9件；或生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品12件，乙產(chǎn)品8件；或生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品13件，乙產(chǎn)品7件。
三、函數(shù)應(yīng)用題
函數(shù)反映了事物間的廣泛聯(lián)系，提示了現(xiàn)實世界眾多的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，日常生活中的許多問題，諸如造價成本最低、生產(chǎn)利潤最大、風(fēng)險決策、股市期貨、開源節(jié)流、扭虧增盈、方案最優(yōu)化等問題的研究，都可以通過建立函數(shù)關(guān)系來解決。
例3. 甲、乙兩個工程隊分別同時開挖兩段河渠，所挖河渠的長度y(m)與挖掘時間x(h)之間的關(guān)系如圖所示，請根據(jù)圖像所提供的信息解答下列問題：
（1）乙隊開挖到30m時，用了____________________________h。開挖6h時甲隊比乙隊多挖了____________________________m；
（2）請你求出：
�、偌钻犜诘臅r段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②乙隊在的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)x為何值時，甲、乙兩隊在施工過程中所挖河渠的長度相等？
解：（1）2，10；
�。�2）設(shè)甲隊在的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式
由圖可知，函數(shù)圖像過點（6，60）
解得
設(shè)乙隊在的時段內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為
由圖可知，函數(shù)圖像過點（2，30）、（6，50）
解得
�。�3）由題意，得
解得x=4(h)
∴當(dāng)x為4h時，甲、乙兩隊所挖的河渠長度相等。
四、幾何應(yīng)用題
幾何應(yīng)用題圖文并茂，貼近人類生活經(jīng)驗和實驗需要，如零件加工、殘輪修復(fù)、工程選點定位、裁剪方案、美化設(shè)計、道路拱橋計算等實際問題中都涉及一定的圖形，在解決這些問題時，我們通常要抓住圖形的幾何性質(zhì)，將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來進行解決。
例4. 本市新建的滴水湖是圓形人工湖。為測量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A、B、C三根木柱，使得A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，并測得BC長為240米，A到BC的距離為5米，如圖所示。請你幫他們求出滴水湖的半徑。
解：設(shè)圓心為點O，連結(jié)OB、OA，OA交線段BC于點D
因為AB=AC
所以O(shè)A⊥BC
且
由題意，DA=5
利用勾股定理易求出OB=1442.5
所以滴水湖的半徑為1442.5
五、統(tǒng)計應(yīng)用題
統(tǒng)計的內(nèi)容具有非常豐富的實際背景，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，要求學(xué)生學(xué)會如何收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù) 初中數(shù)學(xué)，深刻理解用樣本估計整體的基本統(tǒng)計思想，掌握描述數(shù)據(jù)集中趨勢和離散程度的兩類基本統(tǒng)計量，并能夠靈活計算。
例5. 為了迎接全市中考，某對全校男生進行了立定跳遠項目測試，并從參加測試的500名男生中隨機抽取了部分男生的測試成績（單位：米，精確到0.01米）作為樣本進行分析，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每組含最低值，不含最高值），已知圖中從左到右每個小長方形的高的比依次為2：4：6：5：3，其中1.80~2.00這一小組的頻數(shù)為8，請根據(jù)有關(guān)信息解答下列問題：
�。�1）填空：這次調(diào)查的樣本容量為______________________，2.40~2.60這一小組的頻率為_____________________。
�。�2）請指出樣本成績的中位數(shù)落在哪一小組內(nèi)，并說明理由。
（3）樣本中男生立定跳遠的人均成績不低于多少米？
�。�4）請估計該校初三男生立定跳遠成績在2.00米以上（包括2.00米）的約有多少人？
解：（1）40，0.15
�。�2）∵各小組的頻數(shù)分別為：
，，，，
而中位數(shù)是40個成績從小到大排列后第20個數(shù)據(jù)和第21個數(shù)據(jù)的平均數(shù)。
∴中位數(shù)落在2.00~2.20這一小組內(nèi)
�。�3）設(shè)樣本人均成績最低值為x，則
∴樣本中男生立定跳遠的人均成績不低于2.03米。
�。�4）（人）
所以該校初三男生立定跳遠成績在2.00米以上的約有350人。
六、三角形應(yīng)用題
解直角三角形應(yīng)用問題，題目新穎靈活，有利于培養(yǎng)學(xué)生采取多種求解的能力，解題的關(guān)鍵是抓住銳角三角函數(shù)以及直角三角形邊與角之間關(guān)系。
例6. 如圖所示，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得點C的仰角為45°，已知OA=100米，山坡坡度i=1：2且O，A，B在同一條直線上，求電視塔OC的高度以及此人所在位置點P的鉛直高度。（測傾器高度忽略不計，結(jié)果保留根號形式）
解：作PE⊥OB于點E
PF⊥CO于點F，在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°
�。祝�
設(shè)PE=x米
解得（米）
所以電視塔OC高為米，人所在位置點P的鉛直高度為（米）。
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