一年級(jí)上冊(cè)經(jīng)典例題講解
一年級(jí)上冊(cè)經(jīng)典例題講解
計(jì)數(shù)枚舉法經(jīng)典例題講解
解應(yīng)用題時(shí)，為了解題的方便，把問(wèn)題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來(lái)加以分析、解決，最終達(dá)到解決整個(gè)問(wèn)題的目的。這種分析、解決問(wèn)題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。
用列舉法解應(yīng)用題時(shí)，往往把題中的條件以列表的形式排列起來(lái)，有時(shí)也要畫(huà)圖。
例13 有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組。這時(shí)，三組的人數(shù)一樣多。問(wèn)原來(lái)各組有多少個(gè)小朋友？（適于五年級(jí)程度）
解：三個(gè)小組共72人，第三次并入后三個(gè)小組人數(shù)相等，都是72÷3=24（人）。在這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組時(shí)，第一組應(yīng)是24÷2=12（人），第三組應(yīng)是（24+12）=36（人），第二組人數(shù)仍為24人；在第二次第二組未把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組之前，第三組應(yīng)為36÷2=18（人），第二組應(yīng)為（24+18）=42（人），第一組人數(shù)仍是12人；在第一次第一組未把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組之前，第二組的人數(shù)應(yīng)為42÷2=21（人），第一組人數(shù)應(yīng)為12+21=33（人），第三組應(yīng)為18人。
這33人、21人、18人分別為第一、二、三組原有的人數(shù)，列表3-6。
表3-6
答：第一、二、三組原有小朋友分別是33人、21人、 18人
小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典詩(shī)題講解百例之九十一
�。ㄒ罁�(jù)：《孫子問(wèn)題》；編詩(shī)：陳鋼） 有物不知數(shù)，讓我數(shù)一數(shù)； 三個(gè)三個(gè)數(shù)，剩二好孤獨(dú)； 五五數(shù)剩三，七七又二單； 此物多少數(shù)，誰(shuí)能說(shuō)清楚？
【解說(shuō)】這是依據(jù)《孫子算經(jīng)》上有名的“孫子問(wèn)題”（又稱(chēng)“物不知數(shù)題”）編寫(xiě)而成的。原來(lái)的題目是：
“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問(wèn)物幾何？”
用通俗的話來(lái)說(shuō)，題目的意思就是
有一些物品，不知道有多少個(gè)，只知道將它們?nèi)齻�(gè)三個(gè)地?cái)?shù)，會(huì)剩下2個(gè)；五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，會(huì)剩下3個(gè)；七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)，也會(huì)剩下2個(gè)。這些物品的數(shù)量至少是多少個(gè)？
（注：詩(shī)題及題目原文都無(wú)“至少”二字，但“孫子問(wèn)題”都是些求“最少”或者求“至少”的問(wèn)題，否則就會(huì)有無(wú)數(shù)多個(gè)答案。所以，解釋題目意思時(shí)，在語(yǔ)句中加上了“至少”二字。）
《孫子算經(jīng)》解這道題目的“術(shù)文”和答案是：
“三三數(shù)之剩二，置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十減之，即得�！薄按鹪唬憾！�
這些話是什么意思呢？用通俗的話來(lái)說(shuō)，就是：
先求被3除余2，并能同時(shí)被5、7整除的數(shù)，這樣的數(shù)最小是140；
再求被5除余3，并能同時(shí)被3、7整除的數(shù)，這樣的數(shù)最小是63；
然后求被7除余2，并能同時(shí)被3、5整除的數(shù)，這樣的數(shù)最小是30。
于是，由140＋63＋30=233，得到的233就是一個(gè)所要求得的數(shù)。但這個(gè)數(shù)并不是最小的。
再用求得的“233”減去或者加上3、5、7的最小公倍數(shù)“105”的倍數(shù)，就得到許許多多這樣的數(shù)：
�。�23，128，233，338，443，…｝
從而可知，23、128、233、338、443、…都是這一道題目的解，而其中最小的解是23。
答：這些物品的數(shù)目至少是23個(gè)。
需要指出的是，在《孫子算經(jīng)》上，有一段關(guān)于這類(lèi)題目的解題“術(shù)文”：
“凡三三數(shù)之剩一則置七十，五五數(shù)之剩一則置二十一，七七數(shù)之剩一則置十五，一百六以上以一百五減之，即得�！�
�。ㄗⅲ汗欧Q(chēng)“106”和“105”為“一百六”和“一百五”，而稱(chēng)“160”和“150”為“一百六十”和“一百五十”。所以，這里的“一百六”和“一百五”分別指“106”和“105”，而不是“160”和“150”。）
明代著名的大數(shù)學(xué)家程大位，在他所著的《算法統(tǒng)宗》中，對(duì)于這種解一般“孫子問(wèn)題”的方法，還編出了四句歌訣，名曰《孫子歌》：
三人同行七十稀， 五樹(shù)梅花廿一枝； 七子團(tuán)圓正半月， 除百零五便得知。
歌中的“廿”，讀音與“念”音相同。“廿”即二十的意思。
這一歌訣的“詩(shī)意”，我們可以不去理會(huì)，只需注意它的數(shù)字就行了。歌訣中的每一句話，都指出了一步解題方法：
“三（3）人同行七十（70）稀”——是說(shuō)除以3所得的余數(shù)，要用“70”去乘它；
“五（5）樹(shù)梅花廿一（21）枝”——是說(shuō)除以5所得的余數(shù)，要用“21”去乘它；
“七（7）子團(tuán)圓正半月（15）”——“半月”是一個(gè)月30天的一半，即15日，這是說(shuō)，除以 7所得的余數(shù)，要用“ 15”去乘它；
“除百零五（105）便得知”——這是說(shuō)要把上面所乘得的三個(gè)數(shù)相加，加得的和如果大于105，便應(yīng)減去105，或者減去105的倍數(shù)。這也就是《孫子算經(jīng)》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）減之”。這樣得出的差，便是所要求的這個(gè)最小的未知數(shù)了。
運(yùn)用這一歌訣來(lái)解答這道“物不知數(shù)”問(wèn)題，便是
2×70+3×21+2×15=140+63+30=233 233-105-105=23（答略）
不過(guò)，用這種方法解這類(lèi)問(wèn)題，有它的局限性，它只能解答用3、5、7作除數(shù)的題目，遇到用其他數(shù)作除數(shù)的算題，它就行不通了。這一點(diǎn)必須引起我們的注意。
這種“物不知數(shù)（孫子）問(wèn)題”，在我國(guó)古代流傳的算法名稱(chēng)很多。宋朝周宓稱(chēng)它為“鬼谷算”、“隔墻算”（之所以稱(chēng)“鬼谷算”，大概是因?yàn)樗c傳說(shuō)中的哲學(xué)家鬼谷子有某些關(guān)系）；13世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家楊輝則稱(chēng)它為“剪管術(shù)”。南宋數(shù)學(xué)家秦九韶將它推廣，并又發(fā)現(xiàn)一種算法，稱(chēng)它為“大衍求一術(shù)”。它被傳入西方后，外國(guó)人又稱(chēng)它為“中國(guó)剩余定理”。但是大多數(shù)人較為通俗的叫法，還是稱(chēng)它為“韓信點(diǎn)兵”（也有稱(chēng)“秦王暗點(diǎn)兵”的）。傳說(shuō)我國(guó)漢朝的大將韓信，計(jì)算士兵數(shù)目的方法十分特別，他不是五個(gè)五個(gè)或十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，也不要士兵“一、二、三、四、五……”地報(bào)數(shù)，而是叫他們排起隊(duì)伍，依次在他面前列隊(duì)行進(jìn)：先是一排三人，再是一排五人，然后是一排七人。他只將三次所余的士兵記下來(lái)，就知道了士兵的總數(shù)。他旁邊的人見(jiàn)他并沒(méi)有數(shù)士兵的數(shù)目，有時(shí)甚至還閉上了眼睛，而居然知道士兵的總數(shù)，都感到十分驚奇。所以，后人就把這種算法稱(chēng)為“韓信點(diǎn)兵”了�！绊n信點(diǎn)兵問(wèn)題”在數(shù)學(xué)史上，是個(gè)極有名的問(wèn)題。西洋人直到18世紀(jì)才被瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)這一問(wèn)題的解題規(guī)律。只拿我國(guó)南宋秦九韶的研究與他們相比，他們也晚了五百年左右的時(shí)間。
【思考、練習(xí)】
1．有一道用詩(shī)的形式表達(dá)的謎題（陳邦新整理）是：
花生若干粒，三數(shù)即余一； 五數(shù)無(wú)剩余，七數(shù)余三粒。
你能猜出得數(shù)是多少粒嗎？（答案：10粒）
2．有一道民間詩(shī)題如下（陳邦新整理）：
秦皇暗點(diǎn)衛(wèi)隊(duì)兵，三三數(shù)來(lái)余二名； 五數(shù)七數(shù)都余一，衛(wèi)隊(duì)共是多少人？
請(qǐng)仿照上面的方法解出這道題目。（答案：71人）
3．有總數(shù)不滿(mǎn)五十人的一隊(duì)士兵，“一至三報(bào)數(shù)”，最后一人報(bào)“一”；“一至五報(bào)數(shù)”，最后一人報(bào)“二”；“一至七報(bào)數(shù)”，最后一人也報(bào)“二”。這隊(duì)士兵有多少人？（答案：37人）
4．用三輪小貨車(chē)運(yùn)一批糧食，每次運(yùn)7袋，最后余下2
袋；每次運(yùn)8袋，最后余下3袋；每次運(yùn)9袋，最后余下1袋。這批糧食至少有多少袋？（答案：163袋）
5．有一個(gè)數(shù)，被5除余2，被7除余6，被11除余9。那么這個(gè)數(shù)最小是多少？（答案：97）
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小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典詩(shī)題講解百例之三十一
（中國(guó)民間詩(shī)題） 李白沽酒探親朋，路途遙遠(yuǎn)有四程； 一程酒量添一倍，卻被書(shū)童喝六升； 行到親朋家里面，半點(diǎn)全無(wú)空酒瓶。 借問(wèn)高明能算士，瓶?jī)?nèi)原有多少升？
【解說(shuō)】
這也是根據(jù)李白喜愛(ài)飲酒的特點(diǎn)而編出來(lái)的一道著名的民間數(shù)詩(shī)算題，實(shí)際上也是不一定真有此事的。題中的“沽”，讀音與“姑”字相同�！肮痢笔恰百I(mǎi)”的意思，“沽酒”就是“買(mǎi)酒”�！俺獭敝傅缆返亩温洌八某獭奔此亩温��！皶�(shū)童”指舊社會(huì)侍候文人墨客的小仆人。題目的意思可以是
李白叫書(shū)童帶著盛有一定酒量的酒瓶，隨他一同到遙遠(yuǎn)的親朋好友家中去做客。這里到朋友家有四段路程，每經(jīng)過(guò)一段路程，李白都要將瓶中的酒量添加1倍。但是，調(diào)皮的小書(shū)童在每次買(mǎi)酒以后，都要偷偷地將瓶?jī)?nèi)的酒喝掉6升。這樣，他們邊走邊買(mǎi)并邊被書(shū)童偷喝，走到朋友家的時(shí)候，酒瓶里一點(diǎn)酒也沒(méi)有了。問(wèn)：他們出發(fā)的時(shí)候，原來(lái)酒瓶里的酒有多少升？
我們可以用方程來(lái)解答這道題目，因?yàn)檫@樣比較簡(jiǎn)便。
設(shè)原來(lái)瓶?jī)?nèi)的酒量為x升，第一程酒量添一倍以后，就有酒2x升；“卻被書(shū)童喝六升”后，酒量就只有（2x-6）升了。因“路途遙遠(yuǎn)有四程”，走到朋友家時(shí)，“半點(diǎn)全無(wú)空酒瓶”，故可布列方程為
｛[（2x-6）×2-6]×2-6｝×2-6=0
解這一方程，得X=5.625，即酒瓶?jī)?nèi)原來(lái)有酒5.625升。
（答略）
【思考、練習(xí)】
1. 一位老師的年齡加上1以后乘以3，其積的一半加上40，再用所得和的一半的一半，減去25，得數(shù)便是0。這位老師現(xiàn)年多少歲？（答案：39歲）
2．甲乙丙三人各有 2分的硬幣若干枚。開(kāi)始，甲把自己 2分的硬幣拿出一部分分給乙丙，使乙丙的硬幣數(shù)各增加1倍；然后，乙也照此辦理，使甲丙的2分硬幣數(shù)各增加1倍；接著，丙也照此辦理。使甲乙的2分硬幣各增加1倍。最后，三人都用去2分硬幣8枚，這時(shí)三人2分的硬幣數(shù)便都是O枚。問(wèn)：甲乙丙三人原來(lái)各有2分硬幣多少枚？（答案：甲13枚，乙7枚，丙4枚）
小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典詩(shī)題講解百例之八十一
�。ㄒ罁�(jù)：日本算題；編詩(shī)：鐵夫） 大杯小杯一行行，杯杯都來(lái)盛砂糖； 白糖四百二十克，五大三小恰裝完； 若用五小加三大，三百八十可盛光。 大小杯子各一個(gè)，各可容納多少糖？
【解說(shuō)】
這是依據(jù)日本一道較為著名的算題編寫(xiě)而成的。這道題目原來(lái)是日本大阪女子學(xué)院附屬中學(xué)的一道初中招生試題，題目翻譯過(guò)來(lái)可以是
有大杯和小杯若干個(gè)，它們的容量大小分別相同�，F(xiàn)在往5個(gè)大杯和3個(gè)小杯里放滿(mǎn)砂糖，總共可放420克。又往3個(gè)大杯和5個(gè)小杯里放滿(mǎn)砂糖，總共可放380克。問(wèn)：一個(gè)大杯和一個(gè)小杯，分別可以放砂糖多少克？
由題意可知，兩個(gè)大杯比兩個(gè)小杯，要多裝砂糖
420-380=40（克）
那么，一個(gè)大杯比一個(gè)小杯，多裝的砂糖就是
409÷2=20（克）
因?yàn)椤拔宕蠛腿 惫材苎b420克，所以，從420克中減去5個(gè)20克，得到的差就相當(dāng)于（5+3）個(gè)小杯的容量。故一個(gè)小杯的容量就是
（420-20×5）÷（5+3）=320÷8=40（克）
一個(gè)大杯子的容量就是40+20=60（克）
答：大杯可容納60克，小杯可容納40克。
【思考、練習(xí)】
想一想，上面的題目還有別的解答方法嗎？如果還有的話，請(qǐng)用別的方法再解答一遍。（提示：可用算術(shù)里的“消去去”再作解答。）
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