一年級上冊經(jīng)典例題講解
一年級上冊經(jīng)典例題講解
計數(shù)枚舉法經(jīng)典例題講解10
解應(yīng)用題時，為了解題的方便，把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達(dá)到解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。
用列舉法解應(yīng)用題時，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時也要畫圖。
例10 商店出售餅干，現(xiàn)存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧客要買9千克餅干，為了便于攜帶要求不開箱。營業(yè)員有多少種發(fā)貨方式？（適于五年級程度）
解：作表3-3列舉發(fā)貨方式。
表3-3
答：不開箱有7種發(fā)貨方式。
小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典詩題講解百例之九十一
�。ㄒ罁�(jù)：《孫子問題》；編詩：陳鋼） 有物不知數(shù)，讓我數(shù)一數(shù)； 三個三個數(shù)，剩二好孤獨； 五五數(shù)剩三，七七又二單； 此物多少數(shù)，誰能說清楚？
【解說】這是依據(jù)《孫子算經(jīng)》上有名的“孫子問題”（又稱“物不知數(shù)題”）編寫而成的。原來的題目是：
“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問物幾何？”
用通俗的話來說，題目的意思就是
有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們?nèi)齻�三個地數(shù)，會剩下2個；五個五個地數(shù)，會剩下3個；七個七個地數(shù)，也會剩下2個。這些物品的數(shù)量至少是多少個？
�。ㄗⅲ涸婎}及題目原文都無“至少”二字，但“孫子問題”都是些求“最少”或者求“至少”的問題，否則就會有無數(shù)多個答案。所以，解釋題目意思時，在語句中加上了“至少”二字。）
《孫子算經(jīng)》解這道題目的“術(shù)文”和答案是：
“三三數(shù)之剩二，置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十減之，即得。”“答曰：二十三。”
這些話是什么意思呢？用通俗的話來說，就是：
先求被3除余2，并能同時被5、7整除的數(shù)，這樣的數(shù)最小是140；
再求被5除余3，并能同時被3、7整除的數(shù)，這樣的數(shù)最小是63；
然后求被7除余2，并能同時被3、5整除的數(shù)，這樣的數(shù)最小是30。
于是，由140＋63＋30=233，得到的233就是一個所要求得的數(shù)。但這個數(shù)并不是最小的。
再用求得的“233”減去或者加上3、5、7的最小公倍數(shù)“105”的倍數(shù)，就得到許許多多這樣的數(shù)：
｛23，128，233，338，443，…｝
從而可知，23、128、233、338、443、…都是這一道題目的解，而其中最小的解是23。
答：這些物品的數(shù)目至少是23個。
需要指出的是，在《孫子算經(jīng)》上，有一段關(guān)于這類題目的解題“術(shù)文”：
“凡三三數(shù)之剩一則置七十，五五數(shù)之剩一則置二十一，七七數(shù)之剩一則置十五，一百六以上以一百五減之，即得�！�
�。ㄗⅲ汗欧Q“106”和“105”為“一百六”和“一百五”，而稱“160”和“150”為“一百六十”和“一百五十”。所以，這里的“一百六”和“一百五”分別指“106”和“105”，而不是“160”和“150”。）
明代著名的大數(shù)學(xué)家程大位，在他所著的《算法統(tǒng)宗》中，對于這種解一般“孫子問題”的方法，還編出了四句歌訣，名曰《孫子歌》：
三人同行七十稀， 五樹梅花廿一枝； 七子團圓正半月， 除百零五便得知。
歌中的“廿”，讀音與“念”音相同�！柏ァ奔炊囊馑�。
這一歌訣的“詩意”，我們可以不去理會，只需注意它的數(shù)字就行了。歌訣中的每一句話，都指出了一步解題方法：
“三（3）人同行七十（70）稀”——是說除以3所得的余數(shù)，要用“70”去乘它；
“五（5）樹梅花廿一（21）枝”——是說除以5所得的余數(shù)，要用“21”去乘它；
“七（7）子團圓正半月（15）”——“半月”是一個月30天的一半，即15日，這是說，除以 7所得的余數(shù)，要用“ 15”去乘它；
“除百零五（105）便得知”——這是說要把上面所乘得的三個數(shù)相加，加得的和如果大于105，便應(yīng)減去105，或者減去105的倍數(shù)。這也就是《孫子算經(jīng)》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）減之”。這樣得出的差，便是所要求的這個最小的未知數(shù)了。
運用這一歌訣來解答這道“物不知數(shù)”問題，便是
2×70+3×21+2×15=140+63+30=233 233-105-105=23（答略）
不過，用這種方法解這類問題，有它的局限性，它只能解答用3、5、7作除數(shù)的題目，遇到用其他數(shù)作除數(shù)的算題，它就行不通了。這一點必須引起我們的注意。
這種“物不知數(shù)（孫子）問題”，在我國古代流傳的算法名稱很多。宋朝周宓稱它為“鬼谷算”、“隔墻算”（之所以稱“鬼谷算”，大概是因為它與傳說中的哲學(xué)家鬼谷子有某些關(guān)系）；13世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家楊輝則稱它為“剪管術(shù)”。南宋數(shù)學(xué)家秦九韶將它推廣，并又發(fā)現(xiàn)一種算法，稱它為“大衍求一術(shù)”。它被傳入西方后，外國人又稱它為“中國剩余定理”。但是大多數(shù)人較為通俗的叫法，還是稱它為“韓信點兵”（也有稱“秦王暗點兵”的）。傳說我國漢朝的大將韓信，計算士兵數(shù)目的方法十分特別，他不是五個五個或十個十個地數(shù)，也不要士兵“一、二、三、四、五……”地報數(shù)，而是叫他們排起隊伍，依次在他面前列隊行進：先是一排三人，再是一排五人，然后是一排七人。他只將三次所余的士兵記下來，就知道了士兵的總數(shù)。他旁邊的人見他并沒有數(shù)士兵的數(shù)目，有時甚至還閉上了眼睛，而居然知道士兵的總數(shù)，都感到十分驚奇。所以，后人就把這種算法稱為“韓信點兵”了。“韓信點兵問題”在數(shù)學(xué)史上，是個極有名的問題。西洋人直到18世紀(jì)才被瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)這一問題的解題規(guī)律。只拿我國南宋秦九韶的研究與他們相比，他們也晚了五百年左右的時間。
【思考、練習(xí)】
1．有一道用詩的形式表達(dá)的謎題（陳邦新整理）是：
花生若干粒，三數(shù)即余一； 五數(shù)無剩余，七數(shù)余三粒。
你能猜出得數(shù)是多少粒嗎？（答案：10粒）
2．有一道民間詩題如下（陳邦新整理）：
秦皇暗點衛(wèi)隊兵，三三數(shù)來余二名； 五數(shù)七數(shù)都余一，衛(wèi)隊共是多少人？
請仿照上面的方法解出這道題目。（答案：71人）
3．有總數(shù)不滿五十人的一隊士兵，“一至三報數(shù)”，最后一人報“一”；“一至五報數(shù)”，最后一人報“二”；“一至七報數(shù)”，最后一人也報“二”。這隊士兵有多少人？（答案：37人）
4．用三輪小貨車運一批糧食，每次運7袋，最后余下2
袋；每次運8袋，最后余下3袋；每次運9袋，最后余下1袋。這批糧食至少有多少袋？（答案：163袋）
5．有一個數(shù)，被5除余2，被7除余6，被11除余9。那么這個數(shù)最小是多少？（答案：97）
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小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典詩題講解百例之三十一
�。ㄖ袊耖g詩題） 李白沽酒探親朋，路途遙遠(yuǎn)有四程； 一程酒量添一倍，卻被書童喝六升； 行到親朋家里面，半點全無空酒瓶。 借問高明能算士，瓶內(nèi)原有多少升？
【解說】這也是根據(jù)李白喜愛飲酒的特點而編出來的一道著名的民間數(shù)詩算題，實際上也是不一定真有此事的。題中的“沽”，讀音與“姑”字相同�！肮痢笔恰百I”的意思，“沽酒”就是“買酒”�！俺獭敝傅缆返亩温�，“四程”即四段路。“書童”指舊社會侍候文人墨客的小仆人。題目的意思可以是
李白叫書童帶著盛有一定酒量的酒瓶，隨他一同到遙遠(yuǎn)的親朋好友家中去做客。這里到朋友家有四段路程，每經(jīng)過一段路程，李白都要將瓶中的酒量添加1倍。但是，調(diào)皮的小書童在每次買酒以后，都要偷偷地將瓶內(nèi)的酒喝掉6升。這樣，他們邊走邊買并邊被書童偷喝，走到朋友家的時候，酒瓶里一點酒也沒有了。問：他們出發(fā)的時候，原來酒瓶里的酒有多少升？
我們可以用方程來解答這道題目，因為這樣比較簡便。
設(shè)原來瓶內(nèi)的酒量為x升，第一程酒量添一倍以后，就有酒2x升；“卻被書童喝六升”后，酒量就只有（2x-6）升了。因“路途遙遠(yuǎn)有四程”，走到朋友家時，“半點全無空酒瓶”，故可布列方程為
�。鸞（2x-6）×2-6]×2-6｝×2-6=0
解這一方程，得X=5.625，即酒瓶內(nèi)原來有酒5.625升。
�。ù鹇裕�
【思考、練習(xí)】
1. 一位老師的年齡加上1以后乘以3，其積的一半加上40，再用所得和的一半的一半，減去25，得數(shù)便是0。這位老師現(xiàn)年多少歲？（答案：39歲）
2．甲乙丙三人各有 2分的硬幣若干枚。開始，甲把自己 2分的硬幣拿出一部分分給乙丙，使乙丙的硬幣數(shù)各增加1倍；然后，乙也照此辦理，使甲丙的2分硬幣數(shù)各增加1倍；接著，丙也照此辦理。使甲乙的2分硬幣各增加1倍。最后，三人都用去2分硬幣8枚，這時三人2分的硬幣數(shù)便都是O枚。問：甲乙丙三人原來各有2分硬幣多少枚？（答案：甲13枚，乙7枚，丙4枚）
小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典詩題講解百例之八十一
�。ㄒ罁�(jù)：日本算題；編詩：鐵夫） 大杯小杯一行行，杯杯都來盛砂糖； 白糖四百二十克，五大三小恰裝完； 若用五小加三大，三百八十可盛光。 大小杯子各一個，各可容納多少糖？
【解說】這是依據(jù)日本一道較為著名的算題編寫而成的。這道題目原來是日本大阪女子學(xué)院附屬中學(xué)的一道初中招生試題，題目翻譯過來可以是
有大杯和小杯若干個，它們的容量大小分別相同�，F(xiàn)在往5個大杯和3個小杯里放滿砂糖，總共可放420克。又往3個大杯和5個小杯里放滿砂糖，總共可放380克。問：一個大杯和一個小杯，分別可以放砂糖多少克？
由題意可知，兩個大杯比兩個小杯，要多裝砂糖
420-380=40（克）
那么，一個大杯比一個小杯，多裝的砂糖就是
409÷2=20（克）
因為“五大和三小”共能裝420克，所以，從420克中減去5個20克，得到的差就相當(dāng)于（5+3）個小杯的容量。故一個小杯的容量就是
�。�420-20×5）÷（5+3）=320÷8=40（克）
一個大杯子的容量就是40+20=60（克）
答：大杯可容納60克，小杯可容納40克。
【思考、練習(xí)】
想一想，上面的題目還有別的解答方法嗎？如果還有的話，請用別的方法再解答一遍。（提示：可用算術(shù)里的“消去去”再作解答。）
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