高考解析幾何試題賞析
題目：已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)B（-1，0）， 設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線， 證明直線l過定點(diǎn).
答案：
（Ⅰ）軌跡C的方程為：y2=8x；
�。á颍┲本�l過定點(diǎn)（1，0）.
一、 初步推廣
圖1證明：如圖1，易知t與p異號(hào)，不妨設(shè)p > 0. 由PQ不垂直于兩坐標(biāo)軸得直線TP與直線TQ都不是拋物線C的切線，即直線TP與拋物線有另一交點(diǎn)Q′，直線TQ與拋物線有另一交點(diǎn)P′.由于x軸是∠PTQ的角平分線，結(jié)合拋物線C的對(duì)稱性得：P′與P關(guān)于x軸對(duì)稱，Q′與Q關(guān)于x軸對(duì)稱.故PQ，P′Q′和x軸三線共點(diǎn)D.
代入①得，x0=-t.即直線l過定點(diǎn)D（-t，0）.
類似地，可以證明結(jié)論2和結(jié)論3.
結(jié)論2已知點(diǎn)T（t，0）， 設(shè)不垂直于x軸的直線l與橢圓C：x2[]m+y2[]n=1（m > 0，n > 0）交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PTQ的角平分線， 則直線l過定點(diǎn)m[]t，0.
結(jié)論3已知點(diǎn)（T，t，0）， 設(shè)不垂直于x軸的直線l與雙曲線C：x2[]m+y2[]n=1（mn < 0）交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PTQ的角平分線， 則直線l過定點(diǎn)m[]t，0.
二、 追根溯源
1. 廣闊的背景
笛卡爾（1596-1650）認(rèn)為歐氏幾何“使人在想象力大大疲乏的情況下，去練習(xí)理解力”，代數(shù)則是“用來阻礙思想的藝術(shù)，不像一門改進(jìn)思想的科學(xué)”，于是他“尋求另外一種包括這兩門科學(xué)的優(yōu)點(diǎn)而沒有它們的缺點(diǎn)的方法”，并最終獲得了建立解析幾何的線索.平面解析幾何通過平面直角坐標(biāo)系，建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合，她的研究對(duì)象之一就是圓錐曲線的性質(zhì).
十五六世紀(jì)，由于作畫、作圖的需要而產(chǎn)生了透視法，笛沙格（1591―1661）首先對(duì)圖形及其影像的幾何性質(zhì)進(jìn)行研究，引入了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)直線、調(diào)和點(diǎn)列等概念，給出了著名的笛沙格定理，逐步創(chuàng)立了射影幾何.射影幾何的內(nèi)容之一是從極點(diǎn)和極線的.視角研究圓錐曲線的性質(zhì).
今天，幾何學(xué)已經(jīng)有了十余個(gè)分支，它們既相互區(qū)別又相互聯(lián)系，不斷地發(fā)展和完善，交織成一幅絢麗多姿的畫卷.這時(shí)，我們無法用簡(jiǎn)短的文字述說幾何學(xué)的燦爛歷史，卻能以一道高考試題為窗，探視數(shù)與形共舞出的奇妙世界.
2.圓錐曲線的極點(diǎn)與極線
關(guān)于圓錐曲線的極點(diǎn)與極線，已經(jīng)證得下列定理：
定理2如圖2，P為不在圓錐曲線C上的點(diǎn)，過點(diǎn)P引兩條割線依次交曲線C于四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，連接EH，F(xiàn)G交于N（當(dāng)EH與FG平行時(shí)，N為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)），連接EG，F(xiàn)H交于M，則MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.則PA、PB為曲線C的切線若P為圓錐曲線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P的切線即為極線.
由定理1，在圖中，PN為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線，PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線，故MNP為自極三點(diǎn)形.
定理3若過點(diǎn)P可作圓錐曲線C的兩條切線，A，B為切點(diǎn)， 則直線AB為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線；
定理4（配極原則）如果P點(diǎn)的極線通過點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)的極線也通過點(diǎn)P.
圖2圖3
3.結(jié)論再探
設(shè)直線x=-t交拋物線于A，B，由每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線唯一和定理3得，直線TA、TB為拋物線的切線.
三、 試題之美
1.結(jié)構(gòu)對(duì)稱
正是依題設(shè)所作圖形的“不完整”，使得我們產(chǎn)生“補(bǔ)美”的心理趨向，進(jìn)而作出圖1，獲得解題突破口.在圖3中，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PQ與直線P′Q′、直線TA與直線TB分別關(guān)于x軸對(duì)稱，且點(diǎn)T與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱.而根據(jù)定理4得：點(diǎn)T與點(diǎn)D分別在對(duì)方的極線上.這些對(duì)稱關(guān)系通過極點(diǎn)和極線的性質(zhì)相互聯(lián)系，形成整體.德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯指出“美和對(duì)稱性緊密相連”，數(shù)學(xué)中的對(duì)稱，不僅僅是視覺上的和諧，更是一種解題方法，常常使得我們追求整體的秩序井然，進(jìn)而預(yù)見數(shù)學(xué)結(jié)論.
2.結(jié)論統(tǒng)一
四、解題斷想
視野. 欲窮千里目，更上一層樓. 用高等數(shù)學(xué)的思想來審視中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，有利于教師“高屋建瓴”，把握知識(shí)模塊之間的深層聯(lián)系；從高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)探析試題的背景，有利于教師拓廣視角，增強(qiáng)問題探究能力；以高等數(shù)學(xué)的方法來指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐，有利于幫助學(xué)生跳出題海，提升學(xué)習(xí)效益.
意境. 數(shù)學(xué)美在哪里？眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處.通過一道高考試題，我們看到圖形結(jié)構(gòu)的對(duì)稱，曲線性質(zhì)的統(tǒng)一，還有數(shù)學(xué)方法的異曲同工. 做數(shù)學(xué)，就是欣賞美，就是在實(shí)證探究的基礎(chǔ)上，在悠遠(yuǎn)的意境中感悟深邃的數(shù)學(xué)之美.
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