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      2. 高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題

        時(shí)間:2021-06-13 16:51:40 試題 我要投稿

        高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題精選

          一、馬克老林公式與泰勒公式的應(yīng)用

        高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題精選

          1. 當(dāng)x?0時(shí),x?sinxcosxcos2x與cx為等價(jià)無窮小,則c?。 k

          二、利用羅比達(dá)法則求極限

          1112. 若當(dāng)x?且趨向于時(shí),??3arccosx與a(x?)b為等價(jià)無窮小,則 222

          a?b?

          xx?x3. 求lim。 x?1lnx?x?1

          4. 求limsin(sinx)?sin(sin(sinx))。 x?0(sinx)3

          t??5. 求limx?(1?)x?et?。 x??x??

          xx1a1x?a2an)x。 6. 求lim(x?0n

          三、導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用

          7. 設(shè)f(x)在?0,???上可導(dǎo),f(0)?0,f?(x)單調(diào)上升,求證:f(x)在?0,???上x單調(diào)上升。

          8. 已知g(x)在區(qū)間?a,b?上連續(xù),且函數(shù)f(x)在?a,b?上滿足f???gf??f?0,又

          f(a)?f(b)?0,證明:f(x)在閉區(qū)間?a,b?上恒為一個(gè)常數(shù)。

          四、導(dǎo)數(shù)在幾何上的.應(yīng)用

          9. 設(shè)f(x)在?0,???上二階可導(dǎo),f(0)?0,f?(0)?1,f??(x)?f(x),求證:x?0時(shí),

          f(x)?ex。

          10. 假設(shè)f(x)?a1sinx?a2sin2xansinnx,其中a1,a2???an是實(shí)數(shù),且

          f(x?si,試證明:

          a1?2a2nan?1

          參考答案:

          1. 應(yīng)用三角函數(shù)化簡(jiǎn)得

          11   x?sinxcosxcos2x?x?sin2xcos2x?x?sin4x 24

          1   由于sinx?x?u3?o(u3),所以 3!

          1?1?   x?sinxcosxcos2x?x??4x?(4x)3?o(x3)? 4?6?

          ?x?x?133833?4x?o(x)?x?o(x) 3

          243

          8因x?0時(shí),原式cxk,所以c?,k?3. 3

          2. 因?yàn)?/p>

          1x??2lim??3arccosx1a(x?)b

          26?lim?lim?1 111b?1x??x??(x?)b?12ab(x?)222

          所以b?1??

          6,于是a?b?1.

          3.  應(yīng)用羅比達(dá)法則,并應(yīng)用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則,有

          xx(xlnx)??1xx(1?lnx)?1xx(1?lnx)2?xx?1

          ?lim?lim??2  原式?limx?1x?1x?111?x?1?1x

          4. 令sinx?t

          sint?sin(sint)cost?cos(sint)cost1?cos(sint)?lim?limcost   原式?lim 322t?0t?0t?0t3t3t

          (sint)2t2

          1        ?limcost2?lim2?。 t?0t?03t3t6

          15. 令r? x

          t(1?rt)?ee??   limx?(1?)x?et??lim?etlimx??r?0?xr??r?0?

          1rt1ln(1?rt)?tr?1r

          t?tln(1?rt)?rt?rtt2

          tttt?elim?elim?telim??er?0?r?0?r?0?2r(1?rt)r22r2

          xxln(a1x?a2an)?lnn) 6. 原式?exp(limx?0x

          ?exp(lim1x(a1xlna1?ax

          2lna?2????anlnan)) xxxx?0a?aa12n

          1       ?exp((lna1?lna2lnan)) n

          ?exp(ln(a1a2???an))

          ?(a1a2???an)

          7.   令F(x)?f(x)(x??0),則 x

          xf?(x)?f(x)xf?(x)?(f(x)?f(0))F?(x)?? x2x21n1n

          應(yīng)用拉格朗日中值定理,?  ??(0,x),使得

          )    f(x)?f(0?)?f?( x

          于是

          F?(x)?x(f?(x)?f??())f?x?(f)??()? x2x

          由于f?(x)單調(diào)上升,所以f?(?)?f?(x),代入上式得F?(x)?0,故F(x)單調(diào)增。

          8. 假設(shè)f(x)在?a,b?上不恒為常數(shù),則由f(x)的連續(xù)性及f(a)?f(b)?0知

          ?  x0?(a,b),使得f(x0)是f(x)在?a,b?上的最值。由費(fèi)馬定理,有f?(x0)?0,從而f??(x0)?f(x0)。

          若f(x0)是最。ù螅┲,必有f(x0)?0  (?0),從而f??(x0)?0 (?0)。又根據(jù)f??(x0)?0 (?0)可知f(x0)是極大(。┲担@與f(x0)是最。ù螅┲得,故f(x)在?a,b?上恒為常數(shù)。

          9. 令F(x)?e?xf(x),則

          F?(x)??ex(?f(?x)f( x)

          令G(x)?ex(f?(x)?f(x)),則 G?(x)?ex(f??(x)?f(x))?0

          ?G(x)?? G(x)?G(0)?f?(0)?f(0)?0 ?f?(x)?f(x)?0?F?(x)?e?x(f?(x)?f(x))?0 ?F(x)?? F(x)?e?xf(x)?F(0)?1 由此可得f(x)?ex。

          10. 根據(jù)題意,有

          f?(0)?(a1cosx?2a2cos2xnancosnx)               ?a1?2a2nan        a1?2a2nan?f?(0)?limx?0x?0 f(x)?f(0)f(x) ?limx?0xx   由題意知x?0時(shí)

          f(xsi ?xx

          由極限的局部保號(hào)性得

          limx?0f(x)sinx?lim?1 x?0xx

          f(x)?1 x   故a1?2a2nan?limx?0

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