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      2. 相似三角形練習(xí)題

        時(shí)間:2021-06-12 10:28:05 試題 我要投稿

        相似三角形練習(xí)題

          【知識縱橫】

          1。 相似三角形

          對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形(similar triangles)。

          議一議:

          (1)兩個(gè)全等三角形一定相似嗎?為什么?

         。2)兩個(gè)直角三角形一定相似嗎?兩個(gè)等腰直角三角形呢?為什么?

         。3)兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎?兩個(gè)等邊三角形呢?為什么?

          2。 相似比

          相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。

          說明:相似比要注意順序:如△ABC∽△A'B'C'的相似比 ,而△A'B'C'∽△ABC的相似比 ,這時(shí) 。

          3。 相似三角形的識別

         。1)如果一個(gè)三角形的兩角分別與另一個(gè)三角形的兩角對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似。

         。2)如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似。

          (3)如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似。

          【典型例題】

          例1。 如圖,∠1=∠2=∠3,圖中相似三角形有(    )對。

          答:4對

          例2。 如圖,已知:△ABC、△DEF,其中∠A=50°,∠B=60°,∠C=70°,∠D=40°,∠E=60°,∠F=80°,能否分別將兩個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,使△ABC所分成的每個(gè)三角形與△DEF所分成的每個(gè)三角形分別對應(yīng)相似?

          如果可能,請?jiān)O(shè)計(jì)一種分割方案;若不能,說明理由。

          解:

          例3。 (2004廣東。┤鐖D所示,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)F在BA的延長線上,連結(jié)CF交AD于點(diǎn)E。

          (1)求證:△CDE∽△FAE;

          (2)當(dāng)E是AD的中點(diǎn),且BC=2CD時(shí),求證:∠F=∠BCF。

          命題意圖:相似三角形的識別、特征在解題中的`應(yīng)用。

          解析:由AB∥DC得:∠F=∠DCE,∠EAF=∠D

          ∴△CDE∽△FAE

          ,又E為AD中點(diǎn)

          ∴DE=AE,從而CD=FA,結(jié)合已知條件,易證

          BF=BC,∠F=∠BCF

          解:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形

          ∴AB∥CD

          ∴∠F=∠DCE,∠EAF=∠D

          ∴△CDE∽△FAE

         。2)∵E是AD中點(diǎn),∴DE=AE

          由(1)得:

          ∴CD=AF

          ∵四邊形ABCD是平行四邊形

          ∴AB=CD

          ∴AB=CD=AF

          ∴BF=2CD,又BC=2CD

          ∴BC=BF

          ∴∠F=∠BCF

          思路探究:平行往往是證兩個(gè)三角形相似的重要條件,利用比例線段也可證明兩線段相等。

          例4。 在梯形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,點(diǎn)P在線段AB上從A向B運(yùn)動,

          (1)是否存在一個(gè)時(shí)刻使△ADP∽△BCP;

         。2)若AD=4,BC=6,AB=10,使△ADP∽△BCP,則AP的長度為多少?

          解:(1)存在

          (2)若△ADP∽△BCP,則

          設(shè)

          或

          或

          或

          ∴AP長度為4或6

          例5。 如圖,在平行四邊形ABCD中,E為CD上一點(diǎn),DE:CE=2:3,連結(jié)AE、BE、BD,且AE、BD交于點(diǎn)F,則 (    )

          A。 4:10:25   B。 4:9:25

          C。 2:3:5    D。 2:5:25

         。ê邶埥≈锌碱})

          思路點(diǎn)撥:運(yùn)用與面積相關(guān)知識,把面積比轉(zhuǎn)化為線段比。

          ∴選A

          例6。 如圖,有一批形狀大小相同的不銹鋼片,呈直角三角形,已知∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,試設(shè)計(jì)一種方案,用這批不銹鋼片裁出面積達(dá)最大的正方形不銹鋼片,并求出這種正方形不銹鋼片的邊長。

          思路點(diǎn)撥:要在三角形內(nèi)裁出面積最大的正方形,那么這正方形所有頂點(diǎn)應(yīng)落在△ABC的邊上,先畫出不同方案,把每種方案中的正方形邊長求出。

          解:如圖甲,設(shè)正方形EFGH邊長為x,則AC=4

          而CD×AB=AC×BC= ,得

          又△CEH∽△CAB,得

          于是 ,解得:

          如圖乙,設(shè)正方形CFGH的邊長為y cm

          由GH∥AC,得:

          即 ,解得:

          即應(yīng)如圖乙那樣裁剪,這時(shí)正方形面積達(dá)最大,它的邊長為

          例7。 如圖,已知直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,設(shè) , ,作DE⊥DC,DE交AB于點(diǎn)E,連結(jié)EC。

          (1)試判斷△DCE與△ADE、△DCE與△BCE是否分別一定相似?若相似,請加以證明。

         。2)如果不一定相似,請指出a、b滿足什么關(guān)系時(shí),它們就能相似?

          解:(1)△DCE與△ADE一定相似,△DCE與△BCE不一定相似,分別延長BA、CD交于F點(diǎn)

          由△FAD∽△FBC,得:

          于是FD=DC,從而可證△FED≌△CED

          得∠AED=∠DEC

          所以△DEC∽△AED

         。2)作CG⊥AD交AD延長線于G,

          由△AED∽△GDC,有 ,得

          要使△DCE與△BCE相似,那么 一定成立

          即 ,得

          也就是當(dāng) 時(shí),△DCE與△BCE一定相似。

          【模擬試題】(答題時(shí)間:40分鐘)

          1。 如圖,已知DE∥BC,CD和BE相交于O,若 ,則AD:DB=____________。

          2。 如圖,△ABC中,CE:EB=1:2,DE∥AC,若△ABC的面積為S,則△ADE的面積為____________。

          3。 若正方形的4個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的3條邊上,直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm,則此正方形的邊長為____________。

         。ㄎ錆h市中考題)

          4。 閱讀下面的短文,并解答下列問題:

          我們把相似形的概念推廣到空間:如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等,但形狀完全相同,就把它們叫做相似體。

          如圖,甲、乙是兩個(gè)不同的正方體,正方體都是相似體,它們的一切對應(yīng)線段之比都等于相似比: ,設(shè) 分別表示這兩個(gè)正方體的表面積,則 ,又設(shè) 分別表示這兩個(gè)正方體的體積,則 。

         。1)下列幾何體中,一定屬于相似體的是(    )

          A。 兩個(gè)球體    B。 兩個(gè)圓錐體

          C。 兩個(gè)圓柱體   D。 兩個(gè)長方體

         。2)請歸納出相似體的3條主要性質(zhì):

         、傧嗨企w的一切對應(yīng)線段(或弧)長的比等于____________;

         、谙嗨企w表面積的比等于____________;

         、巯嗨企w體積的比等于____________。

         。ńK省泰州市中考題)

          5。 如圖,鐵道口的欄桿短臂長1 m,長臂長16 m,當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0。5 m時(shí),長臂端點(diǎn)升高(    )

          A。 11。25 m  B。 6。6 m   C。 8 m  D。 10。5 m

          6。 如圖,D為△ABC的邊AC上的一點(diǎn),∠DBC=∠A,已知 ,△BCD與△ABC的面積的比是2:3,則CD的長是(    )

          A。    B。     C。    D。

          7。 如圖,在正三角形ABC中,D、E分別在AC、AB上,且 ,AE=BE,則有(    )

          A。 △AED∽△BED   B。 △AED∽△CBD

          C。 △AED∽△ABD   D。 △BAD∽△BCD

         。ê贾菔兄锌碱})

          8。 如圖,已知△ABC中,DE∥FG∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,則 等于(    )

          A。 1:9:36    B。 1:4:9

          C。 1:8:27    D。 1:8:36

          9。 如圖,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ACD=∠B,求證:

          10。 如圖,△ABC中,D是BC邊上的中點(diǎn),且AD=AC,DE⊥BC,DE與AB相交于點(diǎn)E,EC與AD相交于點(diǎn)F。

         。1)求證:△ABC∽△FCD;

         。2)若 ,求DE的長。

          (河北省中考題)

          11。 閱讀并解答問題。

          在給定的銳角△ABC中,求作一個(gè)正方形DEFG,使D、E落在BC上,F(xiàn)、G分別落在AC、AB邊上,作法如下:

          第一步:畫一個(gè)有3個(gè)頂點(diǎn)落在△ABC兩邊上的正方形D'E'F'G'。

          第二步:連結(jié)BF',并延長交AC于點(diǎn)F;

          第三步:過F點(diǎn)作FE⊥BC于E;

          第四步:過F點(diǎn)作FG∥BC交AB于點(diǎn)G;

          第五步:過G作GD⊥BC于點(diǎn)D。

          四邊形DEFG即為所求作的四邊形DEFG,為正方形。

          問題:

         。1)證明上述所求作的四邊形DEFG為正方形;

         。2)在△ABC中,如果 ,∠BAC=75°,求上述正方形DEFG的邊長。

         。ńK省揚(yáng)州市中考題)

          12。 如圖,在△ABC中, ,在BC上有100個(gè)不同的點(diǎn) ,過這100個(gè)點(diǎn)分別作△ABC的內(nèi)接矩形 … ,設(shè)每個(gè)內(nèi)接矩形的周長分別為 ,則

          ____________。

         。ò不帐「傎愵})

          13。 如圖,在△ABC中,DE∥FG∥BC,GI∥EF∥AB,若△ADE、△EFG、△GIC的面積分別為 ,則△ABC的面積為____________。

          14。 如圖,一個(gè)邊長為3、4、5厘米的直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)B重合,另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形的兩條邊AD、DC上,那么這個(gè)正方形的面積是____________厘米2。

          (第11屆“希望杯”邀請賽試題)

          15。 如圖,將一個(gè)矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點(diǎn)連線對折,要使矩形AEFB與原矩形相似,則原矩形的長與寬的比為(    )

          A。 2:1   B。    C。    D。 1:1

          16。 如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=3AB,EF∥CD,EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分,則AE:ED等于(    )

          A。 2   B。    C。    D。

          【試題答案】

          1。 3:1

          2。

          3。  或

          4。 (1)A;(2)相似比;相似比的平方;相似比的立方

          5。 C  6。 C   7。 B   8。 C

          9。 由△ABC∽△DCA,得

          10。 (1)略

         。2)過A作AM⊥BC于M

          由△ABC∽△FCD,得:

          又 ,得

          ∵DE∥AM,

          ,得

          11。 (1)易證明四邊形EFGD為矩形,由 ,而 ,得EF=GF,故四邊形EFGD為正方形。

         。2)過A作AQ⊥BC于Q交GF于P,且AQ=BQ,∠BCA=60°,∠QAC=30°, ,又

          即 ,解得

          由 ,得

          12。 400

          提示:從內(nèi)接一個(gè)矩形入手,探求內(nèi)接△ABC中任一矩形的長與寬的關(guān)系。

          13。

          提示:

          14。

          解:設(shè) ,則

          由△BCE∽△EDF,得

          又 ,即

          15。 C

          16。 C

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