多項(xiàng)式函數(shù)及其根
給出多項(xiàng)式f∈R[x1,...,xn]以及一個(gè)R-代數(shù)A。對(duì)(a1，...，an)∈An，我們把f中的xj都換成aj，得出一個(gè)A中的元素，記作f(a1...an)。如此，f可看作一個(gè)由An到A的函數(shù)。
若然f(a1...an)=0，則(a1...an)稱作f的根或零點(diǎn)。
例如f=x^2 1。若然考慮x是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、或矩陣，則f會(huì)無(wú)根、有兩個(gè)根、及有無(wú)限個(gè)根！
例如f=x-y。若然考慮x是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，則f的零點(diǎn)集是所有(x,x)的集合，是一個(gè)代數(shù)曲線。事實(shí)上所有代數(shù)曲線由此而來(lái)。
另外，若所有系數(shù)為實(shí)數(shù)多項(xiàng)式P(x)有復(fù)數(shù)根Z，則Z的共軌復(fù)數(shù)也是根。
若P（x）有n個(gè)重疊的根，則P‘(x)有n-1個(gè)重疊根。即若P(x)=(x-a)^nQ(x)，則有a是P’(x)的重疊根且有n-1個(gè)。
有理根定理應(yīng)用
為了確定一個(gè)多項(xiàng)式是否有任何有理根，使用該定理，如果是這樣就可以找出它們。 由于定理給出了完全減少的有理根的分子和分母作為某些數(shù)的除數(shù)的約束，所以可以檢查除數(shù)的所有可能的組合，或者找出合理的根，或者確定沒有一個(gè)。 如果找到一個(gè)或多個(gè)，則可以將它們從多項(xiàng)式中分解出來(lái)，導(dǎo)致較低程度的多項(xiàng)式，其根也是原始多項(xiàng)式的根。