《整式的運算》教案設計

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　　●課時安排

　　18課時

　　第一課時

　　●課題

　　§1.1整式

　　●教學目標

　　(一)教學知識點

　　1.在現(xiàn)實情景中進一步理解用字母表示數(shù)的意義，發(fā)展符號感.

　　2.了解整式產(chǎn)生的背景和整式的概念，能求出整式的次數(shù).

　�。ǘ�）能力訓練要求

　　1.能從具體情景中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，使學生經(jīng)歷對具體問題的探索過程，培養(yǎng)符號感.

　　2.進一步培養(yǎng)學生認識特殊與一般的辯證關(guān)系.

　�。ㄈ�）情感與價值觀

　　通過豐富有趣的現(xiàn)實情景，使學生經(jīng)歷從具體問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，在解決問題中了解數(shù)學的價值，發(fā)展“用數(shù)學”的信心.

　　●教學重點

　　單項式的系數(shù)、次數(shù)，多項式的項數(shù)、次數(shù)等概念.

　　●教學難點

　　對整式有關(guān)概念的理解.

　　●教學方法

　　講授——自主探索相結(jié)合.

　　通過學生自主探索現(xiàn)實情景中用字母表示數(shù)的問題，認識代數(shù)式的作用.在此基礎上，通過教師講解，掌握整式的有關(guān)概念.

　　●教具準備

　　1.教師所用三角板. 小黑板

　　●教學過程

　�、�.創(chuàng)設問題情景，引入新課

　　［師］在七年級上冊中，我們已經(jīng)學習了用字母表示數(shù)，代數(shù)式等內(nèi)容，這節(jié)課我們進一步認識代數(shù)式的表示作用.

　　例如：很多小城鎮(zhèn)里都有水塔，水塔可以用來儲水，維持水壓，每天水都不停地流進和流出水塔.一般地，白天，當人們從事生產(chǎn)活動時，流出水塔的水比流進水塔的水多；夜晚，當人們休息時，流進水塔的水比流出的水多.

　　（1）如果水以每小時a升的速度流進水塔，那么4小時后，流進水塔多少升水，若a=20000升，計算一下結(jié)果；

　�。�2）如果水以每小時a升的速度流進水塔，同時又以每小時b升的速度流出水塔，那么4小時后，水塔里的儲水量變化了多少？

　　［生］（1）4小時后，流進水塔的水為4a升；當a=20000升時，4小時后，流進水塔的水為：4a=4×20000=80000升；

　�。�2）4小時后，水塔里的儲水量變化了(4a-4b)升.

　�。蹘煟菰谏鲜鰡栴}中列出的代數(shù)式4a,4a-4b都是整式，這節(jié)課我們就來學習整式的概念.

　�、�.在實際情景中，明確整式的有關(guān)概念

　　出示投影片（§1.1 A):問題串

　　小明房間的窗戶如圖1－1所示，其中上方的裝飾物由兩個四分之一圓和一個半圓組成（它們的半徑相同）.

　　圖1－1

　�。�1）裝飾物所占的面積是多少？

　　（2）窗戶中能射進陽光的部分的面積是多少？（窗框面積忽略不計）

　　（3）一個塑料三角尺如圖1－2所示，陰影部分所占的面積是 ；

　　圖1－2

　�。�4）某校學生總數(shù)為x,其中男生人數(shù)占總數(shù)的 ，男生人數(shù)為 ；

　　（5）一個長方體的底面是邊長為a的正方形，高是h，體積是 .

　�。蹘熒�共析］（1）裝飾物是由兩個四分之一圓和一個半圓組成，它們的半徑相同，由圖中的已知條件可知半徑為 ,所以裝飾物所占的面積恰好是半徑為 的一個圓的面積即 ;

　　(2)窗戶中能射進陽光的部分的面積應該是窗戶的面積與裝飾物所占面積的差即ab- ;

　　(3)塑料三角尺陰影部分所占的面積是 ab- mn;

　　(4)男生人數(shù)為 x;

　　(5)這個長方體的體積是a2h.

　�。蹘煟菸覀冇^察上面列出的幾個代數(shù)式可以發(fā)現(xiàn)：4a,, x,a2h等，都是數(shù)字與字母的乘積.例如4a是4與a的積， 是 與b2的積， x是 與x的積，a2h是1與a2h的積.像這樣的代數(shù)式我們把它們都叫做單項式（monomial).其中的數(shù)字因式如“4”“ ”“ ”“1”是單項式的系數(shù).

　　一個單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù).

　　哪位同學能給我分析一下上面幾個單項式的次數(shù)呢？

　�。凵�］4a的次數(shù)是1次； b2的次數(shù)是2次； x的次數(shù)是1次；a2h的次數(shù)是3次.

　�。蹘煟莺芎�！你能給大家解釋一下a2h這個單項式的次數(shù)為什么是3次嗎？

　�。凵�］這是因為a2h這個單項式中含字母a和h.而a的指數(shù)是2，h的指數(shù)是1，所有字母的指數(shù)和當然是1+2=3嘍.

　�。蹘煟葸@位同學很仔細，h的指數(shù)是1，這一點很容易被部分同學誤認為是0.h的指數(shù)應是1，只不過作為指數(shù)時省略不寫，你還能回憶起什么時候“1”可以省略不寫嗎？

　�。凵�］“1”作為系數(shù)時，“1”作為一個字母的指數(shù)時，“1”作為分母時.

　　［師］同學們總結(jié)的很好.

　�。凵�］單獨的一個數(shù)或一個字母是單項式嗎？

　�。蹘煟菔�.單獨的一個字母a,我們可以看成1?a,所以單獨的一個字母系數(shù)是1，次數(shù)也是1，單獨的一個非零的數(shù)的次數(shù)是0.

　�。凵�］這就是說，我們學過的所有有理數(shù)都是單項式.

　�。蹘煟菔堑�.

　　［生］代數(shù)式4a－4b,ab－ b2, ab－ mn,它們是什么樣的式子呢？

　�。蹘煟荽鷶�(shù)式4a－4b是單項式4a,－4b的和，像這樣的幾個單項式的和所形成的代數(shù)式，我們把它叫做多項式.請問：ab－ b2, ab－ mn是哪些單項式的和呢？

　　［生］ab－ b2這個多項式是ab與－ b2的和； ab－ mn是 ab與－ mn的和.

　　［師］所以我們說ab－ b2這個多項式有兩項，分別是ab,－ b2. x2y+2y－1有幾項呢？

　�。凵�］ x2y+2y－1有三項，分別是 x2y,2y,－1.

　�。蹘煟菝恳豁椀拇螖�(shù)是多少呢？

　�。凵�］ x2y次數(shù)是3次，2y的次數(shù)是1次，－1的次數(shù)是0.

　�。蹘煟菰谝粋�多項式中，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù).x2y這一項在 x2y+2y－1中次數(shù)最高，因此我們把 x2y的次數(shù)3作為多項式 x2y+2y－1的次數(shù)，即 x2y+2y－1是一個三次三項式.那么ab－ b2,ab－ mn是幾次幾項式呢？

　　［生］它們都是二次二項式.

　�。蹘煟菸覀儎偛庞懻摿藛雾検胶投囗検�，而且還知道了單項式的系數(shù)、次數(shù)；多項式的項數(shù)、次數(shù).我們也就知道了整式，因為單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.研究單項式、多項式就是在研究整式.

　　在研究單項式和多項式的概念時，我們注意到在數(shù)字和字母之間只出現(xiàn)了乘法、加法、減法（可轉(zhuǎn)化為加法）的運算，沒有出現(xiàn)2÷x即 ,或x÷2即 這樣的式子，那么 , 是整式嗎？同學們不妨討論一下.

　�。蹘熒�共析］ 可以寫成 ?x,所以 是單項式，而 是數(shù)字與字母的商，所以不是單項式，更不是整式，所以整式最顯著的特征是字母不能作分母.

　�、�.議一議

　　出示投影片（§1.1 B)

　　小紅和小蘭房間窗戶的裝飾物如圖1－3所示，它們分別由兩個四分之一圓和四個半圓組成（半徑分別相同）.

　　圖1－3

　�。�1）窗戶中能射進陽光的部分的面積分別是多少？（窗框面積忽略不計）

　　（2）你能指出其中的單項式或多項式嗎？它們的次數(shù)分別是多少？

　�。凵�］左圖小紅房間的裝飾物所占的面積相當于半徑為 的圓的面積的一半，即 b2.窗戶中能射進陽光的部分的面積為ab－ b2.

　　右圖小蘭房間的裝飾物所占面積是半徑為 的兩個小圓的面積，即2× b2= b2.窗戶中能射進陽光的部分的面積是ab－ b2.

　　［生］ab－ b2和ab－ b2它們都是多項式，且次數(shù)都是2次.

　　Ⅳ.練一練

　　1.隨堂練習（課本P4）

　　下列整式哪些是單項式，哪些是多項式？它們的次數(shù)分別是多少？

　　a,－ x2y,2x－1,x2+xy+y2

　　解：單項式：a,－ x2y;次數(shù)分別是1次和3次.

　　多項式：2x－1,x2+xy+y2;次數(shù)分別是1次和2次.

　　2.補充練習

　　（1）下列說法正確的是（ ）

　　A.單項式A的系數(shù)是0

　　B.單項式a的次數(shù)是0

　　C. 是單項式

　　D.1是單項式

　�。�2）關(guān)于2×103?a,下列說法中正確的是（ ）

　　A.系數(shù)是2，次數(shù)是1

　　B.系數(shù)是2，次數(shù)是4

　　C.系數(shù)是2×103，次數(shù)是0

　　D.系數(shù)是2×103，次數(shù)是1

　�。�3）已知出租汽車行駛3千米以內(nèi)（包括3千米）的車費是7元，以后每行駛1千米，再加1元.如果某人坐出租汽車行駛了m千米（m是整數(shù)，且m≥3)，則車費是（ ）

　　A.(7+m)元 B.（4+m)元

　　C.（7－m)元 D.（3+m)元

　�。�4）下列各式中，哪些是單項式？哪些是多項式？哪些不是整式？

　　－2a2, xy, (m－n),0, ,1+ ,x2+ +1,x

　　(5)寫出系數(shù)是 ，含有字母a、b、c的五次單項式.

　　解：（1）D（2）D（3）B

　�。�4）單項式：－2a2, xy,0,x;

　　多項式： (m－n),1+ ；

　　不是整式： ,x2+ +1

　　(5)a3bc,a2b2c,a2bc2,ab2c2,ab3c,abc3.

　�、�.課時小結(jié)

　　這節(jié)課我們主要學習了整式的概念，特別整式中單項式和多項式的次數(shù).在現(xiàn)實情景中進一步理解了用字母表示數(shù)的意義，發(fā)展符號感.

　�、�.課后作業(yè)

　　課本P5習題1.1問題解決1

　　其它題做為課外作業(yè)

　　Ⅷ.活動與探究

　　已知多項式3xn－2－2xn－xn+1是四次三項式，則單項式(2－n)xn－1yn+1的系數(shù)、次數(shù)分別是多少？

　�。圻^程］根據(jù)多項式次數(shù)的定義，可以確定n的值.因為n+1,n,n－2相比較，n+1最大，所以n+1=4,n=3.把n=3代入(2－n)xn－1?yn+1中，單項式的系數(shù)、次數(shù)都可以確定.

　�。劢Y(jié)果］根據(jù)題意，得n+1=4,n=3;把n=3代入(2－n)xn－1yn+1中得單項式－x2y4.所以－x2y4的系數(shù)為－1，次數(shù)為6次.

　　●板書設計

　　§1.1整式

　　1.單項式：數(shù)和字母的積的代數(shù)式為單項式

　�、賳雾検降南禂�(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)；

　　②單項式的次數(shù)：單項式中所有字母的指數(shù)和；

　　③單獨的一個數(shù)和一個字母也是單項式；

　　④單獨的一個非零數(shù)次數(shù)是0.

　　2.多項式：幾個單項式的和

　　在一個多項式中，次數(shù)最高項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù).

　　3.課堂練習：（由學生口答）

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