點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系教案
點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系教案
專題四:立體幾何
第二講 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
【最新考綱透析】
1.理解空間直線平面位置關(guān)系的定義。
2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理。
3.認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理。
4.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。
【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1:線線、線面的位置關(guān)系
考情聚焦:1.空間直線的位置關(guān)系、直線與平面的位 置關(guān)系是最基本的關(guān)系,是高考中重點(diǎn)考查的內(nèi)容,幾乎年年都考。
2.題目基本上以柱體、錐體為背景,重點(diǎn)考查異面直線及線面關(guān)系。
3.三種題型均可出現(xiàn),屬較容易或中檔題。
考向鏈接:1.解決此類問(wèn)題時(shí)要特別注意線線平行與垂直、線在平行與垂直、面面平行與垂直間的相互轉(zhuǎn)化。
2.證明線線平行的常用方法:(1)利用定義,證兩線共面且無(wú)公共點(diǎn);(2)利用公理4,證兩線同時(shí)平行于第三條直線;(3)利用線面平行的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行。
3.證明線面平行常用方法:(1)利用線面平行的判定定理把證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行;(2)利用性質(zhì)
4.證明線面垂直的方法有:
。1)定義;
。2)判定定理;
例1:(2010?天津高考文科?T19)
如圖,在五面體ABCDEF中,四邊形ADEF是正方形,F(xiàn)A⊥平面ABCD,BC∥AD, CD=1,AD= ,∠BAD=∠CDA=45°.
(Ⅰ)求異面直線CE與AF所成角的余弦值;
(Ⅱ)證明CD⊥平面ABF;
。á螅┣蠖娼荁-EF-A的正切值。
【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力,運(yùn)算能力和推理論證能力。
【思路點(diǎn)撥】(1)∠CED即為異面直線CE與AF所成角;(2)證明CD垂直于兩條相交直線AB、FA;(3)做輔助線構(gòu)造二面角的平面角。
【規(guī)范解答】(I)解:因?yàn)樗倪呅蜛DEF是正方形,所以FA//ED.故 為異面直線CE與AF所成的角.因?yàn)镕A 平面ABCD,所以FA CD.故ED CD.
在Rt△CDE中,CD=1,ED= ,CE= =3,故cos = = .
所以異面直線CE和AF所成角的余弦值為 .
(Ⅱ)證明:過(guò)點(diǎn)B作BG//CD,交AD于點(diǎn)G,則 .由 ,可得BG AB,從而CD AB,又CD FA,FA AB=A,所以CD 平面ABF.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)及已知,可得AG= ,即G為AD的中點(diǎn).取EF的中點(diǎn)N,連接GN,則GN EF,因?yàn)锽C//AD,所以BC//EF.過(guò)點(diǎn)N作NM EF,交BC于M,則 為二面角B-EF-A的平面角。
連接GM,可得AD 平面GNM,故AD GM.從而B(niǎo)C GM.由已知,可得GM 平面MAB.由NG//FA,FA GM,得NG GM.
在Rt△NGM中,tan ,
所以二面角B-EF-A的正切值為 .
要點(diǎn)考向2:面面位置關(guān)系
考情聚焦:1.在高考中,本部分內(nèi)容幾乎年年考查,主要考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
2.題目基本上以棱柱、棱錐為背景,考查面面平行或垂直。
3.選擇題、填空題、解答題均可出現(xiàn),題目難度為低檔或中檔。
考向鏈接:1.證明面面平行,依據(jù)判定定理,只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可。從而將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行,再轉(zhuǎn)化為線線平行。
2.證明面面垂直的方法:證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的垂線,將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,一般先從現(xiàn)有直線中尋找,若圖中不存在這樣的直線,則借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線解決。
例2:(2010?遼寧高考文科?T19)
如圖,棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.
(Ⅰ)證明:平面AB1C⊥平面A1BC1;
。á)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn),且A1B∥平面B1CD,求A1D:DC1的值.
【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、以及幾何體的計(jì)算問(wèn)題,考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。
【思路點(diǎn)撥】(I)先證明B1C⊥平面A1BC1.再證明平面AB1C⊥平面A1BC1;
。↖I)利用線面平行的性質(zhì),得到DE//A1B,判斷出D點(diǎn)是中點(diǎn),從而可解
【規(guī)范解答】(I)
(II)
【方法技巧】
1、證明面面垂直,一般通過(guò)證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,為此分析題設(shè),觀察圖形找到是哪條直線和哪個(gè)平面垂直。
2、證明直線和平面垂直,就是要證明這條直線平面內(nèi)的兩條相交直線,這一點(diǎn)在解題時(shí)一定要體現(xiàn)出來(lái),如本題中強(qiáng)調(diào)了A1B∩BC1=B
要點(diǎn)考向3:與折疊有關(guān)的問(wèn)題
考情聚焦:1.空間圖形的折疊問(wèn)題是近幾年高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn),它通常與其他知識(shí)相結(jié)合,能夠較好地考查學(xué)生的空間想象能力、圖形變換能力及識(shí)圖能力。
2.選擇題、填空題、解答題均可出現(xiàn),尤其解答題為多,屬中檔題。
例3:(2010?浙江高考文科?T20)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°。E為線段AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻折成△A’DE,使平面A’DE⊥平面BCD,F(xiàn)為線段A’C的中點(diǎn)。
。á瘢┣笞C:BF∥平面A’DE;
。á颍┰O(shè)M為線段DE的中點(diǎn),求直線FM與平面A’DE所成角的余弦值。
【命題立意】本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系,線面角等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力。
【思路點(diǎn)撥】(1)可以在面 內(nèi)找一條直線與BF平行,從而證明線面平行;(2)求線面角的關(guān)鍵是找到對(duì)應(yīng)的平面角。
【規(guī)范解答】 (Ⅰ)取A′D的中點(diǎn)G,連結(jié)GF,CE,由條件易知FG∥CD,F(xiàn)G= CD. BE∥CD,BE= CD.所以FG∥BE,FG=BE.
故四邊形BEGF為平行四邊形, 所以BF∥EG
因?yàn)?平面 ,BF 平面 ,所以 BF//平面
。á颍┰谄叫兴倪呅蜛BCD中,設(shè)BC=a,則AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 連CE。
因?yàn)?,在△BCE中,可得CE= a, 在△ADE中,可得DE=a,
在△CDE中,因?yàn)镃D2=CE2+DE2,所以CE⊥DE,
在正三角形A′DE中,M為DE中點(diǎn),
所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD,
可知A′M⊥平面BCD, A′M⊥CE.取A′E的中點(diǎn)N,
連線NM、NF,所以NF⊥DE,NF⊥A′M.因?yàn)镈E交A′M于M,
所以NF⊥平面A′DE,則∠FMN為直線FM與平面A′DE所成的角.
在Rt△FMN中,NF= a, MN= a, FM=a,則cos = .
所以直線FM與平面A′DE所成角的余弦值為 .
【方法技巧】找線面所成角時(shí),可適當(dāng)?shù)淖饕粭l面的垂線,從而把線面角轉(zhuǎn)化為線線夾角。
注:(1)解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量,一般情況下,線段的長(zhǎng)度是不變量,而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化,抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口。
(2)在解決問(wèn)題時(shí),要綜合考慮折疊前后的圖形,既要分析折疊后的圖形,也要分析折疊前的圖形。
【高考真題探究】
1.(2010?山東高考理科?T3)在空間,下列命題正確的是( )
。ˋ)平行直線的平行投影重合
。˙)平行于同一直線的兩個(gè)平面平行
。–)垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行
。―)垂直于同一平面的兩條直線平行
【命題立意】 本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì),考查了考生的空間想象能力、推理論證能力.
【思路點(diǎn)撥】 可利用特殊圖形進(jìn)行排除.
【規(guī)范解答】選D,在正方體 中, 但它們?cè)诘酌?上的投影仍平行,故A選項(xiàng)不正確;平面 與平面 都平行于直線 ,但平面 與平面相交,故B選項(xiàng)不正確;平面 與平面 都垂直于平面 ,但平面 與平面相交 ,故C選項(xiàng)不正確;而由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可以證明選項(xiàng)D正確.
2.(2010?浙江高考理科?T6)設(shè) , 是兩條不同的直線, 是一個(gè)平面,則下列命題正確的是( )
(A)若 , ,則 (B)若 , ,則
。–)若 , ,則 (D)若 , ,則
【命題立意】本題考查空間中的線線、線面位置關(guān)系,考查空間想象能力。
【思路點(diǎn)撥】利用線面平行、線面垂直的判定定理。
【規(guī)范解答】選B。如圖(1),選項(xiàng)A不正確;如圖(2),選項(xiàng)B正確;如圖(3)選項(xiàng)C不正確;如圖(4)選項(xiàng)D不正確。
3.(2010?廣東高考理科?T18) 如圖5, 是
半徑為a的半圓,AC為直徑,點(diǎn)E為 的中點(diǎn),點(diǎn)B
和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)。平面AEC外一點(diǎn)F滿足
FB=FD= a,F(xiàn)E= a
證明:EB⊥FD;
已知點(diǎn)Q,R分別為線段FE,FB上的點(diǎn),使得
FQ= FE,FR= FB,求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值。
【命題立意】本題考察空間點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系以及空間幾何體的相關(guān)計(jì)算.
【思路點(diǎn)撥】(1)點(diǎn)E為 的中點(diǎn),AC為直徑 是 ,又 面 EB⊥FD.
作出二面角的棱 證明 為所求二面角的平面角 求 、
【規(guī)范解答】(1)證明:連結(jié) .因?yàn)?是半徑為a的半圓, 為直徑,點(diǎn)E為 的中點(diǎn),
所以 ,在 中, ,在 中, ,所以 是等腰三角形,且點(diǎn) 是底邊 的中點(diǎn),所以
在 中, ,所以 是 ,所以 .
由 , ,且 ,所以 面
又 面 ,所以,
所以 平面 ,而 平面 ,所以
。2)過(guò)點(diǎn) 作 , FQ= FE,FR= FB, , ,
與 共面且與 共面,
為平面BED與平面RQD的棱.
由(1)知, 平面 , 平面 ,而 平面 , 平面 ,
, , 是平面BED與平面RQD所成二面角的平面角.
在 中, ,
由余弦定理得:
又由正弦定理得:
,即
所以平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值為
4.(2010?北京高考理科?T16)如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在
的平面互相垂直, CE⊥AC,EF∥AC,AB= ,CE=EF=1.
(Ⅰ)求證:AF∥平面BDE;
。á颍┣笞C:CF⊥平面BDE;
。á螅┣蠖娼茿-BE-D的大小。
【命題立意】本題考查了線面平行、線面垂直及二面角的求法。一般的,運(yùn)用幾何法(方法一)對(duì)空間想象能力,空間運(yùn)算能力要求較高,關(guān)鍵是尋找二面角的平面角;運(yùn)用向量法(方法二)思路簡(jiǎn)單,但運(yùn)算量較大,熟練掌握向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
【思路點(diǎn)撥】立體幾何問(wèn)題一般有兩種方法:幾何法與向量法。幾何法:(1)證明AF與面BDE內(nèi)的某條線平行;(2)證明CF垂直于面BDE內(nèi)的兩條相交直線;(3)由第(2)問(wèn)的結(jié)論 ,可過(guò)A作一直線與CF平行,從而垂直于面BDE,再過(guò)A和垂足向二面角A-BE-D的菱BE作垂線,找到二面角的平面角。向量法:利用三個(gè)垂直關(guān)系CE,CD,CB,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的平行、垂直和數(shù)量積求二面角的大小。
【規(guī)范解答】方法一:
(I) 設(shè)AC與BD交點(diǎn)G。因?yàn)镋F//AG,且EF=1,AG= AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形.
所以AF//EG,因?yàn)?平面BDE,AF 平面BDE,所以AF//平面BDE.
(II)連接FG, , 為平行四邊形,
又 , CEFG為菱形, 。
在正方形ABCD中, 。
正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直, ,
,又 , 。
。↖II)在平面ACEF內(nèi),過(guò)A作 ,垂足為H,連接HB。則AH//CF。
AH 平面BDE, , 。
又 面ABCD 面ACEF,CE AC, 面ABCD, 。
又 , 面BCE, 。 面ABH。
。 為所求的二面角A-BE-D的平面角。
由 得, ,
為銳角, 。
方法二:
。↖)因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直,且CE AC,所以CE 平面ABCD.如圖,以C為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系C- .則C(0,0,0), ,B(0, ,0), , , ,所以 , , .設(shè) 為平面BDE的法向量,則 ,即 ,令 ,得 , 。
又 面BDE, AF//平面BDE。
(II)由(I)知 ,所以 ,
所以 , .又因?yàn)?,所以 平面BDE.
(III)設(shè)平面ABE的法向量 , 由(I)知 = , ,則 , .即 所以 且 令 則 . 所以 . 從而 。所以 。
因?yàn)槎娼?為銳角,
所以二面角 的大小為 .
5.(2010?福建高考文科?T20)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD ? A1B1C1D1中,E,H分別是棱A1B1,D1C1上的點(diǎn)(點(diǎn)E與B1不重合),且EH//A1D1。過(guò)EH的平面與棱BB1,CC1相交,交點(diǎn)分別為F,G。
。↖)證明:AD//平面EFGH;
(II)設(shè)AB=2AA1=2a。在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn),記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE ? D1DCGH內(nèi)的概率為p。當(dāng)點(diǎn)E,F(xiàn)分別在棱A1B1, B1B上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí),求p的最小值。
【命題立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系,以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí);考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力;考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思 想、必然與或然思想。
【思路點(diǎn)撥】第一步由線線平行得到線面平行;第二步求出(1)首先求出三棱柱的體積,并求解三棱柱 的體積的最大值,然后求解圓柱的體積,利用體積比計(jì)算出幾何概率。
【規(guī)范解答】 ( I ) 證明:在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中, ,又 , ,又 平面 ,所以 平面 ;
。↖I)設(shè) ,則在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積 ,幾何體 的體積 ,又 , ,所以當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立,從而 ,故 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立,所以 得最小值等于 。
【方法技巧】立 體幾何中的證明問(wèn)題,一定要把條件寫完整了,保證邏輯合理,如:本題一定要寫出 。
6.(2010?江蘇高考?T16)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。
求證:PC⊥BC;
求點(diǎn)A到平面PBC的距離。
【命題立意】本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,考查幾何體的體積,考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力。
【思路點(diǎn)撥】(1)可證明BC與PC所在的某一個(gè)平面垂直;(2)點(diǎn)A到平面PBC的距離是點(diǎn)D到平面PBC的距離的2倍。
【規(guī)范解答】(1)因?yàn)镻D⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以PD⊥BC。
由∠BCD=900,得CD⊥BC,
又PD DC=D,PD、DC 平面PCD,
所以BC⊥平面PCD。
因?yàn)镻C 平面PCD,故PC⊥BC。
(2)分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F,連DE、DF,則:
易證DE∥CB,DE∥平面PBC,點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等。
又點(diǎn)A到 平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。
由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,
因?yàn)镻D=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面 PBC于F。
易知DF= ,故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于 。
【方法技巧】一個(gè)幾何體無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),其體積是不變的.如果一個(gè)幾何體的底面積和高較難求解時(shí),我們可考慮利用等體積法求解。等體積法也稱等積轉(zhuǎn)換或等積變形,它是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法,多用來(lái)解決有關(guān)錐體的體積,把底面積和高的求解轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系清晰的底面及其對(duì)應(yīng)的高,減少運(yùn)算量,這也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的具體體現(xiàn)。本題也可利用等體積法求解:
連結(jié)AC。設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h。
因?yàn)锳B∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。
從而AB=2,BC=1,得 的面積 。
由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱錐P-ABC的體積 。
因?yàn)镻D⊥平面ABCD,DC 平面ABCD,所以PD⊥DC。
又PD=DC=1,所以 。
由PC⊥BC,BC=1,得 的面積 。
由 , ,得 ,
故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于 。
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題(每小題6分,共36分)
1.給出以下三個(gè)命題:
、偃绻粭l直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行;
②如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面;
、廴绻粭l直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,那么這條直線垂直于這個(gè)平面.
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
(A)3(B)2(C)1(D)0
2.給定空間中的直線l及平面α,條件“直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的 ( )
(A)充要條件
(B)充分非必要條件
(C)必要非充分條件
(D)既非充分又非必要條件
3.設(shè)有直線m、n和平面α、β.下列四個(gè)命題中,正確的是( )
(A)若m∥α,n∥α,則m∥n
(B)若m α,n α,m∥β,n∥β,則α∥β
(C)若α⊥β,m α,則m⊥β
(D)若α⊥β,m⊥β,m α,則m∥α
4.對(duì)于平面α和直線m、n,給出下列命題
、偃鬽∥n,則m、n與α所成的角相等;
、谌鬽⊥α,m⊥n,則n∥α;
③若m與n是異面直線,且m∥α,則n與α相交.
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
(A)0(B)1(C)2(D)3
5.已知平面α外不共線的三點(diǎn)A、B、C到α的距離都相等,則正確的結(jié)論是( )
(A)平面ABC必不垂直于α
(B)平面ABC必平行于α
(C)平面ABC必與α相交
(D)存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內(nèi)
6.(2010北京模擬)設(shè)A、B、C、D是空間四個(gè)不同的點(diǎn),在下列命題中,不正確的是( )
A.若AC與BD共面,則AD與BC共面
B.若AC與BD是異面直線,則AD與BC是異面直線
C.若AB = AC,DB = DC,則AD = BC
D.若AB = AC,D B = DC,則AD⊥BC
二、填空題(每小 題6分, 共18分)
7.如圖,長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,MN在平面BCC1B1內(nèi),MN⊥BC于M,則MN與平面AB1的位置關(guān)系是_______.
8.如果一條直線與一個(gè)平面垂直,那么,稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是_______.
9.設(shè)α、β表示平面,a、b表示不在α內(nèi)也不在β內(nèi)的兩條直線.給出下列四個(gè)論斷:①a∥b;②a∥β;③α⊥β;④b⊥α.若以其中三個(gè)作為條件,余下的一個(gè)作為結(jié)論,可以構(gòu)造出一些命題.寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題________.
三、解答題(10、11題每題15分,12題16分,共46分)
10.如圖,在四棱錐P-ABCD中.PD⊥平面ABCD,AD⊥CD.DB平分∠ADC,E為PC的中點(diǎn),AD=CD.
(1)證明PA∥平面BDE;
(2)證明AC⊥平面PBD;
11.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC為正三角形,D、E分別是BC、CA的中點(diǎn).
(1)證明:平面PBE ⊥平面PAC.
(2)在BC上是否存在一點(diǎn)F,使
AD∥平面PEF?說(shuō)明理由.
12.(探究創(chuàng)新題)如圖,A、B、C、D為空間四點(diǎn),在△ABC中,AB=2,AC=BC= ,等邊三角形ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng).
。1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),求CD的長(zhǎng);
(2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),是否總有AB⊥CD?證明你的結(jié)論.
參考答案
一、選擇題
1. 【解析】選B.由直線與平面平行的性質(zhì)定理知①正確;
由直線與平面垂直的判定定理知②正確;
若兩條直線都平行于一個(gè)平面,則這兩條直線平行或相交或異面,故③不正確.
2. 【解析】選C.由直線與平面垂直的定義知,當(dāng)直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直時(shí),直線l與平面α不一定垂直;反之成立.
3. 【解析】選D.m∥α,n∥α m∥n或m與n相交或m,n異面,故A不對(duì).m α,n α,m∥β,n∥β α,β相交或平行,故B不對(duì).α⊥β,m α m∥β或m⊥β或m與β斜交,故C不對(duì).α⊥β,m⊥β,m α m∥α正確.
故選D.
4. 【解析】選B.①正確;對(duì)②,若m⊥α,m⊥n,則n∥α或n α;對(duì)③,若m與n異面,m∥α,則n與α相交或平行或在α內(nèi).
5. 【解析】選D.如圖,A、B、C三點(diǎn)不共線且到α的距離都相等,可得A、B、C皆錯(cuò).
6. 【解析】選C.A.若AC與BD共面,則A ,B ,C,D四點(diǎn)共面,則AD與BC共面;
B.若AC與BD是異面直線,則A ,B ,C,D四點(diǎn)不共面,則AD與BC是異面直線;
C.若AB = AC,DB = DC,四邊形ABCD可以是空間四邊形,AD不一定等于 BC;
D.若AB = AC,DB = DC,可以證明AD⊥BC。
二、填空題
7. 【解析】∵M(jìn)N⊥BC,
∴MN∥BB1,
而B(niǎo)B1 平面AB1,
∴MN∥平面AB1.
答案:MN∥平面AB1
8. 【解析】∵AB⊥面BCC1B1,
AB⊥面ADD1A1,
∴AB與面BCC1B1,AB與面ADD1A1
各構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.
這樣的“正交線面對(duì)”共有
12×2=24個(gè),
又A1B⊥面AB1C1D.
∴A1B與面AB1C1D構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.
這樣的“正交線面對(duì)”共有12×1=12個(gè),
∴共有24+12=36個(gè).
答案:36
9. 【解析】由a∥b,a∥β,b⊥α可得α⊥β.
答案:①②④ ③
三、解答題
10. 【證明】(1)設(shè)AC∩BD=H,連結(jié)EH.在△ADC中,因?yàn)锳D=CD,且DB平分∠ADC,所以H為AC的中點(diǎn).又由題設(shè),E為PC的中點(diǎn),故EH∥PA.又EH 平面BDE且PA 平面BDE,所以PA∥平面BDE.
(2)因?yàn)镻D⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PD⊥AC.結(jié)合(1)易知DB⊥AC.
又PD∩DB=D.故AC⊥平面PBD.
11. 【解析】(1)∵PA⊥底面ABC,
BE 平面ABC,
∴PA⊥BE.
又△ABC是正三角形,E是AC的中點(diǎn),
∴BE⊥AC,而PA∩AC=A.
∴BE⊥平面PAC.
又BE 平面PBE,∴平面PBE⊥平面PAC.
(2)存在點(diǎn)F,F(xiàn)是CD的中點(diǎn).
理由:∵E、F分別是AC、CD的中點(diǎn),
∴EF∥AD.
而EF 平面PEF,AD 平面PEF,
∴AD∥平面PEF.
12. 【解析】(1)取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、CE,
因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形,
所以DE⊥AB,
當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),
因?yàn)槠矫鍭DB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE.
又DE= ,EC=1.
在Rt△DEC中,
(2)當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),總有AB⊥CD.
證明:①當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時(shí),
因?yàn)锳C=BC,AD=BD,
所以C、D都在線段AB的垂直平分線上,
即AB⊥CD.
、诋(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時(shí),由(1) 知AB⊥DE,
又因AC=BC,所以AB⊥CE.
又DE、CE為相交直線,所以AB⊥平面CDE,
由CD 平面CDE,得AB⊥CD.
綜上所述得AB⊥CD.
【備課資源】
1.已知α、β是不同的平面,m、n是不同 的直線,則下列命題不正確的是( )
(A)若m⊥α,m∥n,n?β,則α⊥β
(B)若m∥α,α∩β=n,則m∥n
(C)若m∥n,m⊥α,則n⊥α
(D)若m⊥α,m⊥β,則α∥β
【解析】選B.對(duì)B,m和n可能平行,也可能異面,故錯(cuò)誤.
2. 設(shè)a、b是兩條直線,α、β是兩個(gè)平面,則a⊥b的一個(gè)充分條件是( )
(A)a⊥α,b∥β,α⊥β
(B)a⊥α,b⊥β,α∥β
(C)a α,b⊥β,α∥β
(D)a α,b∥β,α⊥β
【解析】選C.a α,b⊥β,α∥β?a⊥b.
3. 已知α、β、γ是三個(gè)互不重合的平面,l是一條直線,給出下列四個(gè)命題
、偃籀痢挺隆⊥β,則l∥α;
、谌鬺⊥α,l∥β,則α⊥β;
、廴鬺上有兩個(gè)點(diǎn)到α的距離相等,則l∥α;
④若α⊥β,β∥γ,則γ⊥α;
其中正確的命題是( )
(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③
【解析】選B.α⊥β,l⊥β?l∥α或l?α,故①不正確.l⊥α,l∥β?α⊥β,②正確.
若l上有兩個(gè)點(diǎn)到α的距離相等,則l∥α或l?α或l與α相交,③不正確.顯然④正確.
4.設(shè)α、β、γ為三個(gè)不同的平面,m、n為兩條不同的直線
、佴痢挺 ,α∩β=n,m⊥n;②α∩γ=m,α⊥β,β⊥γ;
、郐痢挺,α∥γ,m∥γ;④n⊥α,n⊥β,m⊥α
其中,是m⊥β的充分條件的為( )
(A)①②(B)②④(C)②③(D)③④
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