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正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像教案及反思
篇一：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像教案及反思
教材分析
三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型，是函數(shù)大家庭的一員。除了基本初等函數(shù)的共性外，三角函數(shù)也有其個性的特征，如圖像、周期性、單調(diào)性等，所以本節(jié)內(nèi)容有著承上啟下的作用；另外，學習完三角函數(shù)的定義之后，必然要研究其性質(zhì)，而研究函數(shù)的性質(zhì)最常用、最形象直觀的方法就是作出其圖像，再通過圖像研究其性質(zhì)。由于正弦線、余弦線已經(jīng)從“形”的角度描述了三角函數(shù),因此利用單位圓中的三角函數(shù)線畫正弦函數(shù)圖象是一個自然的想法.當然,我們還可以通過三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系性等來作圖,從畫出的圖形中觀察得出五個關(guān)鍵點,得到“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖. 教學目標
1.通過簡諧振動實驗演示,讓學生對函數(shù)圖像有一些直觀的感知,形成正弦曲線的初步認識,進而探索正弦曲線準確的作法,養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)、善于探究的良好習慣.學會遇到新問題時善于調(diào)動所學過的知識,較好地運用新舊知識之間的聯(lián)系,提高分析問題、解決問題的能力.
2.通過本節(jié)學習,理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法.借助圖象變換,了解函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.通過三角函數(shù)圖象的三種畫法:描點法、幾何法、五點法,體會用“五點法”作圖給我們學習帶來的好處,并會熟練地畫出一些較簡單的函數(shù)圖象.
3.通過本節(jié)的學習,讓學生體會數(shù)學中的圖形美,體驗善于動手操作、合作探究的學習方法帶來的成功愉悅.滲透由抽象到具體的思想,加深數(shù)形結(jié)合思想的認識,理解動與靜的辯證關(guān)系,樹立科學的辯證唯物主義觀. 重點難點
教學重點:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.
教學難點:將單位圓中的正弦線通過平移轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)圖象上的點;正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系.
教學用具：多媒體教學、幾何畫板軟件、ppt控件 教學過程 導入新課
1.(復習導入)首先復習相關(guān)準備知識：三角函數(shù)、三角函數(shù)線。遇到一個新的函數(shù),非常自然的是畫出它的圖象,觀察圖象的形狀,看看有什么特殊點,并借助圖象研究它的性質(zhì),如:值域、單調(diào)性、奇偶性、最大值與最小值等.我們也很自然的想知道y=sinx與y=cosx的圖象是怎樣的呢?回憶我們是如何畫出它們圖象的(列表描點法:列表、描點、連線)?
2.(物理實驗導入)視頻觀看“簡諧運動”實驗.得到一條曲線,它就是簡諧運動的圖象.物理中把簡諧運動的圖象叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”.有了上述實驗,你對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象是否有了一個直觀的印象?畫函數(shù)的圖象,最基本的方法是我們以前熟知的列表描點法,但不夠精確.下面我們利用正弦線畫出比較精確的正弦函數(shù)圖象. 推進新課
新知探究 提出問題
問題①:作正弦函數(shù)圖象的各點的縱坐標都是查三角函數(shù)表得到的數(shù)值,由于對一般角的三角函數(shù)值都是近似值,不易描出對應(yīng)點的精確位置.我們?nèi)绾蔚玫饺我饨堑娜呛瘮?shù)值并用線段長(或用有向線段數(shù)值)表示x角的三角函數(shù)值?怎樣得到函數(shù)圖象上點的兩個坐標的準確數(shù)據(jù)呢?簡單地說,就是如何得到y(tǒng)=sinx,x∈［0,2π］的精確圖象呢?
問題②:如何得到y(tǒng)=sinx,x∈R時的圖象?
對問題①,第一步,可以想象把單位圓圓周剪開并12等分,再把x軸上從0到2π這一段分成12等份.由于單位圓周長是2π,這樣就解決了橫坐標問題.過⊙O1上的各分點作x軸的垂線,就可以得到對應(yīng)于0、2π等角的正弦線,這樣就解決了縱坐標問題(相6432當于“列表”).第二步,把角x的正弦線向右平移,使它的起點與x軸上的點x重合,這就得到了函數(shù)對(x,y)(相當于“描點”).第三步,再把這些正弦線的終點用平滑曲線連接起來,我們就得到函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲線(相當于“連線”).如圖1所示(這一過程用課件演示,讓學生仔細觀察怎樣平移和連線過程.然后讓學生動手作圖,形成對正弦函數(shù)圖象的感知).這是本節(jié)的難點,教師要和學生共同探討
對問題②,因為終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值,所以函數(shù)y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0上的圖象與函數(shù)y=sinx在x∈[0,2π]上的圖象的形狀完全一致,只是位置不同.于是我們只要將函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π］的圖象向左、右平行移動(每次2π個單位長度),就可以得到正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象.(這一過程用課件處理,讓同學們仔細觀察整個圖的形成過程,感知周期性)
操作結(jié)果、總結(jié)提煉:①利用正弦線,通過等分單位圓及平移即可得到y(tǒng)=sinx,x∈［0,2π］的圖象. ②左、右平移,每次2π個長度單位即可. 提出問題
如何畫出余弦函數(shù)y=cosx,x∈R的圖象?你能從正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系出發(fā),利用正弦函數(shù)圖象得到余弦函數(shù)圖象嗎?
意圖:如果再用余弦線作余弦函數(shù)的圖象那太麻煩了,根據(jù)已學的知識,教師引導學生觀察誘導公式,思考探究兩個函數(shù)之間的關(guān)系,通過怎樣的坐標變換可得到余弦函數(shù)圖象?讓學生從函數(shù)解析式之間的關(guān)系思考,進而學習通過圖象變換畫余弦函數(shù)圖象的方法.讓學生動手做一做,體會正弦函數(shù)圖象與余弦函數(shù)圖象的異同,感知兩個函數(shù)的整體形狀,為下一步學習正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)打下基礎(chǔ). 討論結(jié)果:
把正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象向左平移個單位長度即可得到余弦函數(shù)圖象
正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象和余弦函數(shù)y=cosx,x∈R的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線點.
提出問題 問題①:以上方法作圖,雖然精確,但不太實用,自然我們想尋求快捷地畫出正弦函數(shù)圖象的方法.你認為哪些點是關(guān)鍵性的點? 問題②:你能確定余弦函數(shù)圖象的關(guān)鍵點,并作出它在［0,2π］上的圖象嗎? 活動:對問題①,教師可引導學生從圖象的整體入手觀察正弦函數(shù)的圖象,發(fā)現(xiàn)在［0,2π］上有五個點起關(guān)鍵作用,只要描出這五個點后,函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的圖象的形狀就基本上確定了.這五點如下: (0,0),(3,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
因此,在精確度要求不太高時,我們常常先找出這五個關(guān)鍵點,然后用光滑的曲線將它們連接起來,就可快速得到函數(shù)的簡圖.這種近似的“五點(畫圖)法”是非常實用的,要求熟練掌握.
對問題②,引導學生通過類比,很容易確定在［0,2π］上起關(guān)鍵作用的五個點,并指導學生通過描這五個點作出在［0,2π］上的圖象. 討論結(jié)果:①略. ②關(guān)鍵點也有五個,它們是:(0,1),(3,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
學生練習鞏固：1。用五點法作出函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的圖象；2. 用五點法作出函數(shù)y=cosx
在［0,2π］上的圖象 應(yīng)用示例
例1 畫出下列函數(shù)的簡圖 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π]描點并將它們用光滑的曲線連接起來
課堂小結(jié)
以提問的方式,先由學生反思學習內(nèi)容并回答,教師再作補充完善.
1.怎樣利用“周而復始”的特點,把區(qū)間［0,2π］上的圖象擴展到整個定義域的?
2.如何利用圖象變換從正弦曲線得到余弦曲線?
這節(jié)課學習了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法.除了它們共同的代數(shù)描點法、幾何描點法之外,余弦函數(shù)圖象還可由平移交換法得到.“五點法”作圖是比較方便、實用的方法,應(yīng)熟練掌握.數(shù)形結(jié)合思想、運動變化觀點都是學習本課內(nèi)容的重要思想方法.
3.課后請同學們利用三角函數(shù)線（把單位圓8等分）來作出正弦函數(shù)圖象？（思考為什么要進行8等分）
教學反思：
這節(jié)課從整體上看，比較圓滿完成了既定的教學目標：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像，以及掌握五點法，利用五點法作出函數(shù)的圖像，注意函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。學生掌握了三角函數(shù)的定義之后，自然而然就會去研究函數(shù)的性質(zhì)，而研究函數(shù)的性質(zhì)一般從函數(shù)的圖像入手，本節(jié)課學生的動手操作要求較高，需要學生在練習本上畫圖；這節(jié)課從教學過程看，邏輯行強，過渡比較自然，幻燈片制作精美，特別是幾何畫板的控件，讓學生能夠直觀看到圖像的變化趨勢，還有電子白板的靈活運用，可以使用新建屏幕頁，讓學生看到我們老師如何操作，給學生示范。
當然，在教學中也存在一些問題：前面復習回顧的內(nèi)容用時過多，導致后面的時間有些緊，例題可以講一個詳細的，后面讓學生完成；正弦函數(shù)的圖像分析透徹之后，對于余弦函數(shù)可以略講。
篇二：教學設(shè)計與反思
一、教學內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容是高一數(shù)學必修4（蘇教版）第三章《三角恒等變換》第一節(jié)的內(nèi)容，重點放在兩角差的余弦公式的推導和證明上，其次是利用公式解決一些簡單的三角函數(shù)問題。 在學習本章之前，已經(jīng)學習了三角函數(shù)及向量的有關(guān)知識，從而為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的聯(lián)系提供了重要的工具。本章我們將使用這些工具探討三角函數(shù)值的運算。本節(jié)內(nèi)容不僅是推導正弦和（差）角公式、正切和（差）角公式及倍角公式的基礎(chǔ)，對于三角變換，三角恒等式的證明，三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用，而且其推導過程本身就具有重要的教育價值。
二、學生學習情況分析
本節(jié)課的主要內(nèi)容是“兩角差的余弦公式的推導及證明”，用到的工具有“單位圓中三角函數(shù)的定義”和“平面向量數(shù)量積的定義及坐標表示”，都屬于基礎(chǔ)知識，內(nèi)容簡單，容易理解和接受。但是在向量法證明的過程中，向量夾角的范圍是[0，π]，與兩角差α-β的范圍不一致，學生對角的范圍說明不清，是本節(jié)課的難點。
三、設(shè)計思想
教學理念：以“研究性學習”為載體，培養(yǎng)學生自主學習、小組合作的能力。
教學原則：注重學生自主學習與探究能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)學生個性的發(fā)展與小組合作共性的融合。
教學方法：先學后教，小組合作，師生互動。
四、教學目標
知識與技能：了解用向量法推導兩角差的余弦公式的過程，掌握兩角和（差）的余弦公式并能運用公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值。
過程與方法：自主探究兩角差的余弦公式的表現(xiàn)形式，經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導兩角差的余弦公式的過程，并能獨立利用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化歸思想在三角變換中的作用。
情感態(tài)度與價值觀：體驗和感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，感悟事物之間普遍聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的關(guān)系。
五、教學重點與難點
重點：兩角差的余弦公式的推導及證明。
難點：引入向量法證明兩角差的余弦公式及兩角差范圍的說明。
六、教學程序設(shè)計
1.情境創(chuàng)設(shè)，課上展示。
課前探究：
課上展示：請同學們展示一下課前所得到的結(jié)果吧。
設(shè)計意圖：課前以問題串的形式給學生指明研究方向。問題層層遞進，從特殊到一般，使學生的研究具有一定的坡度性。既讓學生容易上手，又讓學生在研究過程中慢慢深入與提高。
主要目的：讓學生自主發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式的表達形式。
通過課上展示，學生把課下研究出來的成果與全班同學共享，產(chǎn)生共鳴，為進一步研究兩角差的余弦公式做好準備，同時增強表達能力及自信心。
2.合作探究，小組展示。
探究一：兩角差的余弦公式的推導
問題4：問題2中我們所得到的結(jié)論對于任意角還成立嗎？你能證明嗎？
問題5：觀察我們得到結(jié)論的形式，你能聯(lián)想到什么呢？
探究二：兩角和的余弦公式的推導
問題6：你能根據(jù)差角的余弦公式推導出和角的余弦公式嗎？
問題7：比較差角的余弦公式與和角的余弦公式，它們在結(jié)構(gòu)上有何異同點？
通過小組展示，各個小組之間產(chǎn)生思維的碰撞，迸出火花，得到新的靈感與智慧。從而培養(yǎng)學生團結(jié)協(xié)作與小組合作的能力。
3.鞏固知識，例題講解。
例1：利用兩角和與差的余弦公式證明下列誘導公式：
例3：化簡cos100°cos40°+sin80°sin40°
設(shè)計意圖：教師對各小組展示內(nèi)容做適當點評，并且對“向量法證明的優(yōu)點”，“向量法證明過程的完善”，“向量法中向量夾角與兩角差的范圍的統(tǒng)一”做簡要講解。
例1，例2都是公式的直接應(yīng)用。例1讓學生體會誘導公式將余弦的和差角公式推導出正弦的和差角公式，為下節(jié)課埋下伏筆。例2中根據(jù)cos15°的值求sin15°的值，tan15°的值的過程都是為推導正弦和差公式，正切和差公式做鋪墊。
變式將例2中具體的角變成抽象的角，利用同角三角函數(shù)公式求解。在由sinα的值求cosα的值或由cosβ的值求sinβ的值時，要注意根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號。 例3：是公式的逆用，培養(yǎng)學生逆向思維的能力，讓學生對公式結(jié)構(gòu)再認識。
4.提升總結(jié)，鞏固練習。
提升總結(jié)：針對上面的3個例題，談?wù)勀銓W到了什么？
�。�2）利用兩角和差的余弦公式求值時，應(yīng)注意觀察、分析題設(shè)和公式的結(jié)構(gòu)特點，從整體上把握公式，靈活的運用公式。
�。�3）在解題過程中，要注意角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號，以防增根、漏根。 設(shè)計意圖：主要以學生總結(jié)為主，老師做適當點評及補充。
七、教學反思
本節(jié)課主要以學生的自主學習、小組合作為主，充分發(fā)揮了學生的自主探究能力和團隊協(xié)作能力，提高了學生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題和解決問題的能力。情境創(chuàng)設(shè)中利用三個問題讓學生在課前提前熟悉本節(jié)課所學的內(nèi)容“是什么”，“我能得到哪些結(jié)論”，調(diào)動了學生的思維與學習的積極性，激發(fā)了學生的求知欲。但是
但是如果給出圖像，則又會限制數(shù)學優(yōu)秀的學生的解題思路與方法，這對矛盾是由學生的差異所決定的。教師在課堂上應(yīng)指導、啟發(fā)學生，注意教學的示范性，明確解題的規(guī)范性，實現(xiàn)學生在學習過程中知識的跨越�？傊�，教學有法，教無定法，貴在得法，為了提高課堂教學效率，我們要從學生的實際出發(fā)，以學法帶動教法，為高效課堂保駕護航。
篇三：正弦函數(shù)余弦函數(shù)圖像教學反思
由于學生已具備初等函數(shù)、三角函數(shù)線知識，為研究正弦函數(shù)圖象提供了知識上的積累；因此本教學設(shè)計理念是：通過問題的提出，引起學生的好奇，用操作性活動激發(fā)學生求知欲，為發(fā)現(xiàn)新知識創(chuàng)設(shè)一個最佳的心理和認識環(huán)境，引導學生關(guān)注正弦函數(shù)的圖象及其作法；并借助電腦多媒體使教師的設(shè)計問題與活動的引導密切結(jié)合，強調(diào)學生“活動”的內(nèi)化，以此達到使學生有效地對當前所學知識的意義建構(gòu)的目的，感覺效果很好。
課后反思：
比較成功的地方：
1．教學思路清晰，各個環(huán)節(jié)過渡比較自然，課堂教學設(shè)計得比較緊湊．
2．教學設(shè)計對于正弦曲線、余弦曲線首先從實驗入手形成直觀印象，然后探究畫法，列表，描點、連線——“描點法”作圖，對于函數(shù)y＝sinx，當x取值時，y的值大都是近似值，加之作圖上的誤差，很難認識新函數(shù)y＝sinx的圖象的真實面貌.因為在前面已經(jīng)學習過三角函數(shù)線，這就為用幾何法作圖提供了基礎(chǔ).這樣設(shè)計比較自然，合理，符合學生認知的基本規(guī)律．
3．利用正弦線作出y＝sinx在[0, 2?]內(nèi)的圖象，再得到正弦曲線，這里借助角周而復始的變化，體會后面性質(zhì)“周期”，這樣的設(shè)計由局部到整體，符合探究的一般方法．
4．對于“五點法”老師讓學生通過觀察、學生討論、進一步合作
交流得到“五點法”作圖，也是本節(jié)課中一大的亮點，充分體現(xiàn)以學生為主的教學思路．
5．通過展示課件，生動形象地再現(xiàn)三角函數(shù)線的平移和曲線形成過程．使原本枯燥地知識變得生動有趣，激發(fā)學生的興趣．
6．在得到正弦函數(shù)的圖象后，通過一個探究，引導學生利用誘導公式，結(jié)合圖象變換研究余弦函數(shù)的圖象，體現(xiàn)了新課改中倡導的“自主探究、合作交流”的教學理念，有利于培養(yǎng)學生主動探究的意識． 需要改進的地方：
1．時間的把握要恰當，否則會影響課堂后面內(nèi)容的安排．
2．在由正弦函數(shù)的圖象得到余弦函數(shù)的圖象的探究過程中，設(shè)計了讓學生“自主探究、合作交流”的教學思路，但學生對“合作—交流”的熱情不夠，不太主動——在調(diào)動學生積極參與課堂活動方面做得不夠好．
3．由于導入的過程時間稍長，加之本節(jié)課的容量過大，盡管在例題的教學過程中及時的改變了教學策略，把例1中的第（2）小題交由學生練習，還是導致了學生練習時間較少．
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