二次函數(shù)的圖象教案
2.4二次函數(shù)＝ax2+bx+c的圖象
本節(jié)課在二次函數(shù)＝ax2和＝ax2+c的圖象的基礎上，進一步研究＝a(x-h)2和＝a(x-h)2+的圖象，并探索它們之間的關系和各自的性質(zhì)．旨在全面掌握所有二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的變化情況．同時對二次函數(shù)的研究，經(jīng)歷了從簡單到復雜，從特殊到一般的過程：先是從＝x2開始，然后是＝ax2，＝ax2+c，最后是＝a(x-h)2，＝a(x-h)2+，＝ax2+bx+c．符合學生的認知特點，體會建立二次函數(shù)對稱軸和頂點坐標公式的必要性．
在教學中，主要是讓學生自己動手畫圖象，通過自己的觀察、交流、對比、概括和反思[
等探索活動，使學生達到對拋物線自身特點的認識和對二次函數(shù)性質(zhì)的理解．并能利用它的性質(zhì)解決問題．
2.4二次函數(shù)＝ax2+bx+c的圖象（一）
教學目標
(一)教學知識點[
1．能夠作出函數(shù)=a(x-h)2和＝a(x-h)2+的圖象，并能理解它與＝ax2的圖象的關系．理解a，h，對二次函數(shù)圖象的影響．
2．能夠正確說出=a(x-h)2+圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
(二)能力訓練要求
1．通過學生自己的探索活動，對二次函數(shù)性質(zhì)的研究，達到對拋物線自身特點的認識和對二次函數(shù)性質(zhì)的理解．
2．經(jīng)歷探索二次函數(shù)的圖象的作法和性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學生的探索能力．
(三)情感與價值觀要求
1．經(jīng)歷觀察、猜想、總結等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點．
2．讓學生學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果．
教學重點[:Wz5u.c]
1．經(jīng)歷探索二次函數(shù)＝ax2+bx+c的圖象的作法和性質(zhì)的過程．
2．能夠作出=a(x-h)2和=a(x-h)2+的圖象，并能理解它與＝ax2的圖象的關系，理解a、h、對二次函數(shù)圖象的影響．
3．能夠正確說出＝a(x-h)2+圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
教學難點
能夠作出＝a(x-h)2和＝a(x-h)2+的圖象，并能夠理解它與＝ax2的圖象的關系，理解a、h、對二次函數(shù)圖象的影響．
教學方法
探索——比較——總結法．
教具準備
投影片四張
第一張：(記作2．4．1 A)
第二張：(記作2．4．1 B)
第三張：(記作2．4．1 C)
第四張：(記作2．4．1 D)
教學過程
�、瘢畡�(chuàng)設問題情境、引入新課
[師]我們已學習過兩種類型的二次函數(shù)，即=ax2與=ax2+c，知道它們都是軸對稱圖形，對稱軸都是軸，有最大值或最小值．頂點都是原點．還知道＝ax2+c的圖象是函數(shù)=ax2的圖象經(jīng)過上下移動得到的，那么=ax2的圖象能否左右移動呢?它左右移動后又會得到什么樣的函數(shù)形式，它又有哪些性質(zhì)呢?本節(jié)課我們就來研究有關問題．
�、颍抡n講解
一、比較函數(shù)＝3x2與＝3(X-1)2的圖象的性質(zhì)．
投影片：(2．4 A)
(1)完成下表，并比較3x2和3(x-1)2的值，
它們之間有什么關系?
X-3-2-101234
3x2
3(x-1)2
(2)在下圖中作出二次函數(shù)＝3(x-1)2的圖象．你是怎樣作的?
(3)函數(shù)＝3(x-1)2的圖象與=3x2的圖象有什么關系?它是軸對稱圖形嗎?它的'對稱軸和頂點坐標分別是什么?
(4)x取哪些值時，函數(shù)＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時，函數(shù)＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減小?
[師]請大家先自己填表，畫圖象，思考每一個問題，然后互相討論，總結．
[生](1)第二行從左到右依次填：27．12，3，0，3， 12，27，48；第三行從左到右依次填48，27，12，3，0，3， 12，27．
(2)用描點法作出＝3(x-1)2的圖象，如上圖．
(3)二次函數(shù))＝3(x-1)2的圖象與=3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點坐標不同，＝3(x-1)2的圖象的對稱軸是直線x=1，頂點坐標是(1，0)．
(4)當x>1時，函數(shù)＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大，x<1時，＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減小．
[師]能否用移動的觀點說明函數(shù)=3x2與=3(x-1)2的圖象之間的關系呢?
[生]=3(x-1)2的圖象可以看成是函數(shù))＝3x2的圖象整體向右平移得到的.
[師]能像上節(jié)課那樣比較它們圖象的性質(zhì)嗎?
[生]相同點：
a.圖象都中拋物線，且形狀相同，開口方向相同．
b. 都是軸對稱圖形．
c．都有最小值，最小值都為0．
d．在對稱軸左側，都隨x的增大而減�。趯ΨQ軸右側，都隨x的增大而增大．
不同點：
a．對稱軸不同,＝3x2的對稱軸是軸＝3(x-1)2的對稱軸是x＝1．
b. 它們的位置不問．[:Wz5u.c]
c. 它們的頂點坐標不同． ＝3x2的頂點坐標為(0，0),＝3(x-1)2的頂點坐標為(1，0)，
聯(lián)系：
把函數(shù)=3x2的圖象向右移動一個單位，則得到函數(shù)＝3(x-1)2的圖像．
二、做一做
投影片：(2．4．1 B)
在同一直角坐標系中作出函數(shù)＝3(x-1)2和＝3(x-1)2+2的圖象．并比較它們圖象的性質(zhì)．
[生]圖象如下
它們的圖象的性質(zhì)比較如下：
相同點：
a．圖象都是拋物線，且形狀相同，開口方向相同．
b. 都足軸對稱圖形，對稱軸都為x＝1．
c. 在對稱軸左側，都隨x的增大而減小，在對稱軸右側，都隨x的增大而增大．
不同點：
a．它們的頂點不同，最值也不同.＝3(x-1)2的頂點坐標為(1．0)，最小值為0．＝3(x-1)2+2的頂點坐標為(1，2)，最小值為2．
b. 它們的位置不同．
聯(lián)系：
把函數(shù)=3(x-1)2的圖象向上平移2個單位，就得到了函數(shù)＝3(x-1)2+2的圖象．
三、總結函數(shù)=3x2，=3(x-1)2，＝3(x-1)2+2的圖象之間的關系．
[師]通過上畫的討論，大家能夠總結出這三種函數(shù)圖象之間的關系嗎?
[生]可以．
二次函數(shù)＝3x2，=3(x-1)2，=3(x-1)2+2的圖象都是拋物線．并且形狀相同，開口方向相同，只是位置不同，頂點不同，對稱軸不同，將函數(shù)＝3x2的圖象向右平移1個單位，就得到函數(shù)=3(x-1)2的圖象；再向上平移2個單位，就得到函數(shù)=3(x-1)2+2的圖象．
[師]大家還記得＝3x2與＝3x2-1的圖象之間的關系嗎?
[生]記得，把函數(shù)=3x2向下平移1個平位，就得到函數(shù)＝3x2-1的圖象．
[師]你能系統(tǒng)總結一下嗎?
[生]將函數(shù)＝3x2的圖象向下移動1個單位，就得到了函數(shù)=3x2-1的圖象，向上移動1個單位，就得到函數(shù)＝3x2+1的圖象；將＝3x2的圖象向右平移動1個單位，就得到函數(shù)＝3(x-1)2的圖象：向左移動1個單位，就得到函數(shù)=3(x+1)2的圖象；由函數(shù)＝3x2向右平移1個單位、再向上平移2個單位，就得到函數(shù)＝3(x-1)2+2的圖象．
[師]下面我們就一般形式來進行總結．
投影片：(2．4．1 C)
一般地，平移二次函數(shù)=ax2的圖象便可得到二次函數(shù)為=ax2+c，＝a(x-h)2，=a(x-h)2+的圖象．
(1)將＝ax2的圖象上下移動便可得到函數(shù)=ax2+c的圖象，當c>0時，向上移動，當c<0時，向下移動．
(2)將函數(shù)＝ax2的圖象左右移動便可得到函數(shù)=a(x-h)2的圖象，當h>0時，向右移動，當h<0時，向左移動．
(3)將函數(shù)＝ax2的圖象既上下移，又左右移，便可得到函數(shù)＝a(x-h)+的圖象．
因此，這些函數(shù)的圖象都是一條拋物線，它們的開口方向，對稱軸和頂點坐標與a，h，的值有關．
下面大家經(jīng)過討論之后，填寫下表：
=a(x-h)2+開口方向對稱軸頂點坐標
a＞0
a＜0
四、議一議
投影片：(2，4．1 D)
(1)二次函數(shù)=3(x+1)2的圖象與二次函數(shù)＝3x2的圖象有什么關系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么?
(2)二次函數(shù)=-3(x-2)2+4的圖象與二次函數(shù)=-3x2的圖象有什么關系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么?
(3)對于二次函數(shù)＝3(x+1)2，當x取哪些值時，的值隨x值的增大而增大?當x取哪些值時，的值隨x值的增大而減小?二次函數(shù)＝3(x+1)2+4呢?
[師]在不畫圖象的情況下，你能回答上面的問題嗎?
[生](1)二次函數(shù)＝3(x+1)2的圖象與＝3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點坐標不同，=3(x+1)2的圖象的對稱軸是直線x=-1，頂點坐標是(-1，0)．只要將＝3x2的圖象向左平移1個單位，就可以得到=3(x+1)2的圖象．
(2)二次函數(shù)＝-3(x-2)2+4的圖象與＝-3x2的圖象形狀相同，只是位置不同，將函數(shù)＝-3x2的圖象向右平移2個單位，就得到=-3(x-2)2的圖象，再向上平移4個單位，就得到=-3(x-2)2+4的圖象=-3(x-2)2+4的圖象的對稱軸是直線x=2，頂點坐標是(2，4)．
(3)對于二次函數(shù)=3(x+1)2和＝3(x+1)2+4，它們的對稱軸都是x＝-1，當x<-1時，的值隨x值的增大而減��；當x>-1時，的值隨x值的增大而增大．
�、螅n堂練習
隨堂練習
Ⅳ．課時小結
本節(jié)課進一步探究了函數(shù)=3x2與＝3(x-1)2，＝3(x-1)2+2的圖象有什么關系，對稱軸和頂點坐標分別是什么這些問題．并作了歸納總結．還能利用這個結果對其他的函數(shù)圖象進行討論．
�、酰n后作業(yè)
習題2．4
Ⅵ．活動與探究
二次函數(shù)= (x+2)2-1與= (x-1)2+2的圖象是由函數(shù)＝ x2的圖象怎樣移動得到的?它們之間是通過怎樣移動得到的?
解：＝ (x+2)2-1的圖象是由= x2的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到的，＝ (x-1)2+2的圖象是由= x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的．
＝ (x+2)2-1的圖象向右平移3個單位，再向上平移3個單位得到= (x-1)2+2的圖象．
＝ (x-1)2+2的圖象向左平移3個單位，再向下平移3個單位得到＝ (x+2)2-1的圖象．
板書設計
4．2．1 二次函數(shù)＝ax2+bx+c的圖象(一) 一、1. 比較函數(shù)＝3x2與＝3(x-1)2的
圖象和性質(zhì)(投影片2．4．1 A)
2．做一做(投影片2．4．1 B)
3．總結函數(shù)＝3x2，=3(x-1)2= 3(x-1)2+2的圖象之間的關系(投影片2．4．1 C)
4．議一議(投影片2．4．1 D)
二、課堂練習
1．隨堂練習
2．補充練習
三、課時小結
四、課后作業(yè)
備課資料
參考練習
在同一直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)=- x2,=- x2-1,=- (x+1)2-1的圖象，并討論它們的性質(zhì)與位置關系．
解：圖象略
它們都是拋物線，且開口方向都向下；對稱軸分別為軸軸，直線x=-1；頂點坐標分別為(0，0)，(0，-1)，(-1，-1)．
=- x2的圖象向下移動1個單位得到=- x2-1 的圖象；=- x2的圖象向左移動1個單位，向下移動1個單位，得到＝- (x+1)2-1的圖象．
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