《橢圓及其標準方程》教學設(shè)計

　　1、掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；

　　2、能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；

　　3、通過對橢圓概念的引入教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力；

　　4、通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；

　　5、通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新意識、

　　教材分析　

　　1、知識結(jié)構(gòu)　

　　2、重點難點分析　

　　重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式、難點是橢圓標準方程的建立和推導、關(guān)鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法　

　　橢圓及其標準方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內(nèi)容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程、橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用、先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然、學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的、　

　�。�1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質(zhì)，可以對比圓的定義來理解

　　另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于、這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當常數(shù)等于時軌跡是一條線段；當常數(shù)小于時無軌跡”、這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性、

　　（2）根據(jù)橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：　

　　①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當?shù)淖鴺讼�，是求曲線方程首先應該注意的地方、應讓學生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔、　

　　②設(shè)橢圓的焦距為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為，令，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領(lǐng)會、

　�、墼诜匠痰耐茖н^程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常遇到的問題，又是學生的難點、要注意說明這類方程的化簡方法：

　　①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側(cè)，把其他項移至另一側(cè)；

　�、诜匠讨杏袃蓚�根式時，需將它們分別放在方程的兩側(cè)，并使其中一側(cè)只有一項、　

　�、芙炭茣�上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程“而沒有證明，”方程的解為坐標的點都在橢圓上”、這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求、　

　�。�3）兩種標準方程的橢圓異同點　

　　中心在原點、焦點分別在軸上，軸上的橢圓標準方程分別為：

　　它們的相同點是：形狀相同、大小相同，

　　不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同、　

　　橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大；　

　　橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大、　

　　另外，形如中，只要同號，就是橢圓方程，它可以化為、　

　�。�4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法、例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向?qū)W生說明，如果求得的`點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓、　

　　教法建議　

　�。�1）使學生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學技術(shù)中的應用，激發(fā)學生的學習興趣、　

　　為激發(fā)學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學生尋找身邊與圓錐曲線有關(guān)的例子。　

　　例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上、如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行、人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理、相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道、因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關(guān)，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的、

　�。�2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷　

　　為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學時應安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識、　

　　（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。　

　　教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

　　教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結(jié)出經(jīng)驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解。　

　�。�4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實質(zhì)　

　　在教學時，可以設(shè)置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據(jù)提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內(nèi)涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。　

　�。�5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯(lián)系　

　　在講解橢圓的定義時，就要啟發(fā)學生注意橢圓的圖形特征，一般學生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學生就比較容易選擇適當?shù)淖鴺讼盗�，即使焦點在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質(zhì)）、雖然這時學生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎(chǔ)上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向?qū)W生逐步滲透了坐標法、　

　　（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法、　

　　推導橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數(shù)，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數(shù)高、項數(shù)多，教學時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識、通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：

　�。�1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；

　�。�2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項、（為了避免二次平方運算）　

　　（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發(fā)學生自己研究焦點在y軸上的'標準方程，然后鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識、　

　�。�8）在學習新知識的基礎(chǔ)上要鞏固舊知識　　橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念、對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向?qū)W生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析、　

　�。�9）要突出教師的主導作用，又要強調(diào)學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎(chǔ)較差的學生提出猜想，由基礎(chǔ)較好的學生幫助證明，培養(yǎng)學生的團結(jié)協(xié)作的團隊精神。

　　一、教學內(nèi)容解析

　　1、地位與作用：

　　本章是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》，是高中數(shù)學解析幾何的第二大部分。解析幾何是數(shù)學中一個重要的分支，它聯(lián)系了數(shù)學中的數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。在北師大版必修2中，學生已掌握了在平面直角坐標系下研究直線和圓的方法，本章教材進一步利用三種基本圓錐曲線深化代數(shù)與幾何的關(guān)系。本章教材內(nèi)容的順序是：橢圓→拋物線→雙曲線→曲線與方程。這樣安排的用意是，先學圓錐曲線，再學曲線與方程，這樣的順序更有利于學生的學習，符合學生從特殊到一般，具體到抽象的認知規(guī)律。在圓錐曲線的學習過程中，不斷的滲透曲線與方程的思想，為學生理解并掌握“曲線與方程”這一概念奠定了基礎(chǔ)。

　　本節(jié)是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》第1節(jié)的內(nèi)容，主要學習橢圓的定義、標準方程及其簡單的應用，分為兩課時，本節(jié)課是第1課時，主要學習橢圓的定義及其標準方程。教材以橢圓為基礎(chǔ)和重點說明了求方程并利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法，然后在認知拋物線和雙曲線中得到了鞏固和應用，因此《橢圓及其標準方程》這一節(jié)課起到了承上啟下的作用。

　　2、教材處理順序

　　教材在橢圓的定義這個內(nèi)容的安排上是：先從直觀上認識橢圓，再從畫法中提煉出橢圓的幾何特征，由此抽象概括出橢圓的定義，最后是橢圓定義的簡單應用。這樣的安排不僅體現(xiàn)出《課程標準》中要求通過豐富的實例展開教學的理念，而且符合學生從具體到抽象的認知規(guī)律，有利于學生對概念的學習和理解。教材在本節(jié)內(nèi)容中只研究了中心在原點，焦點在軸上的橢圓的標準方程，讓學生自己去歸納焦點在軸上的橢圓的標準方程。這樣的處理給學生提供了一次探究和交流的機會。有利于學生對拋物線標準方程的理解，有利于學生思維能力的提高和學習興趣的培養(yǎng)。

　　3、數(shù)學思想方法

　　本節(jié)內(nèi)容蘊含了：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想等。在推導橢圓標準方程過程中讓學生體會移項再平方去根號的方法。

　　二、教學目標和重難點

　　1、教學目標

　�。�1）知識與技能目標：

　　①理解橢圓的定義；

　�、谡莆盏臋E圓的標準方程。

　　（2）過程與方法目標：

　　①在橢圓定義的獲知和歸納中，進一步滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法；

　�、谕ㄟ^橢圓標準方程的推導過程，鞏固用坐標化的方法求動點的軌跡方程，同時體會含有兩個根式的化簡思路。

　�。�3）情感、態(tài)度和價值觀：

　�、偻ㄟ^橢圓定義的歸納，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認識規(guī)律并利用規(guī)律解決實際問題的能力；

　�、谕ㄟ^師生、生生合作學習，增強學生團隊協(xié)作能力，增強主動與他人合作交流的意識。

　　2、教學重點

　�。�1）掌握橢圓的定義與相關(guān)概念；

　�。�2）掌握橢圓的標準方程。

　　3、教學難點

　　橢圓標準方程的推導。

　　三、學情分析

　　1、學生已有的認知基礎(chǔ)

　　授課班級學生為高二年級學生。

　　橢圓是圓錐曲線中基礎(chǔ)且重要的一種圖形，在實際生活中經(jīng)常遇到。學生在高一對解析幾何有了初步的了解和認識，對于在平面直角坐標系下的點坐標及長度公式已掌握，具有一定的空間想象能力、抽象概括能力和推理運算的技能，有較好的學習習慣和方法。

　　2、學生存在的難點

　　學生在涉及到需要自己建立坐標系，再研究推導出方程仍是一個難點。且之前未接觸過一個式子中含兩個根式相加的情況，故化簡是個問題。

　　3、突破策略

　　由教師引領(lǐng)學生觀察所繪出的橢圓的特點，定點位置，從而建立合適的直角坐標系。

　　四、教學策略分析

　　1、內(nèi)容突破策略

　　本節(jié)課新知內(nèi)容分兩大板塊：一是總結(jié)概括出橢圓的定義；二是推導出橢圓的標準方程。針對第一板塊內(nèi)容，主要采取學生先動手畫橢圓，在實踐的過程中發(fā)現(xiàn)一些固定不變的量和量與量之間存在的關(guān)系，從而總結(jié)出橢圓的定義，并且深刻領(lǐng)悟定義中所說的一些特別要求。針對第二板塊內(nèi)容，主要是采取教師引導，學生動手，通過一般的求動點軌跡的方法推導出橢圓的標準方程，符合學生的認知規(guī)律。

　　2、啟迪學生思維策略：

　　在教學方法的選擇上，采用教師組織引導，學生動手實踐、自主探究、合作交流的學習方式，力求體現(xiàn)教師的引導者、合作者的作用，突出學生的主體地位。

　　五、教學過程

　　教學過程

　　設(shè)計意圖

　　一、創(chuàng)設(shè)情景，導入新課

　　1、讓學生觀察幾張典型圖片和行星在太陽系中的運動軌跡，由此看出一個共同的數(shù)學圖形“橢圓”。

　　2、大家還能舉出生活中你所遇到的橢圓嗎？

　　3、用多媒體演示一個嫦娥三號運行橢圓形軌道的例子。

　　1、使學生對橢圓有一個感性認識，明白生活實踐中有許多數(shù)學問題，數(shù)學來源于實踐，同時培養(yǎng)學生學會用數(shù)學的眼光去觀察周圍事物的能力。

　　2、通過提問激發(fā)學生課堂上的學習興趣。

　　二、橢圓的定義（分四個環(huán)節(jié)）

　　1、畫一畫（畫橢圓）

　�、賹⒁粭l繩子的兩端固定在同一個定點上，用筆尖勾起繩子的中點使繩子繃緊，圍繞定點旋轉(zhuǎn)，筆尖形成的軌跡是什么？

　�。ㄓ蓪W生動手在黑板上進行演示，提高學生的動手能力，同時激起學生學習本節(jié)課的興趣）

　�、诙鴮⒗K子的兩端分別固定在兩個定點上，筆尖勾直繩子，移動筆尖，得到的是軌跡是什么？

　�。ń處熖釂�，讓學生動手，拿出提前準備好的毛線，兩組同學上黑板畫，其他同學同桌合作在練習本上畫）

　　動畫演示作圖過程

　　2、認一認（實驗總結(jié)）

　　提出問題：①作圖過程中，哪些量沒有變？哪些量變了？

　　提出問題：②為什么要求作圖過程中筆尖要繃緊？

　　提出問題：③筆尖所對應的動點M到定點的距離有什么長度之間的關(guān)系？

　　總結(jié)：筆尖對應的動點M到直線兩個端點的長度之和固定不變。

　　3、說一說（總結(jié)定義）

　　提出問題：根據(jù)剛才動手實踐的過程，能否總結(jié)橢圓的定義？（同學自由發(fā)言，再由學生進一步補充完善）

　　我們把平面內(nèi)到兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的集合叫作橢圓。

　　問題1：定義中的常數(shù)等于，則動點的軌跡是什么？

　　問題2：定義中的常數(shù)小于，則動點的軌跡是什么？

　　4、橢圓相關(guān)概念：兩個定點，叫作橢圓的焦點，兩個焦點，間的距離叫作橢圓的焦距。

　　1、給學生提供一個動手、動腦的學習機會；

　　2、學生可通過動手實踐的過程去體會“滿足什么樣的條件下的點的集合為橢圓”，從而對橢圓定義中的條件有直觀深刻的認識。

　　3、通過三個問題的設(shè)置，為學生從畫法中發(fā)現(xiàn)拋物線的幾何特征奠定基礎(chǔ)。

　　4、通過三個典型的問題，讓學生更深刻地理解橢圓的定義

　　5、使學生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質(zhì)的認識，并逐漸養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W作風。

　　三、橢圓的標準方程

　　1、求一求（推導橢圓的標準方程）

　　問題3：回顧圓的軌跡方程是如何求的？

　�、俳ㄏ担�

　�、谠O(shè)點：

　�、哿惺剑旱茫�

　　④化簡：

　　問題4：以怎樣的建系方式，哪一種針對求橢圓的標準方程比較好？

　�。ㄑa充說明：橢圓具有一定的對稱美，故所求的式子最好簡潔工整）

　　動手演算：讓學生動手，求推導焦點在軸上的橢圓的標準方程

　�、俳ㄏ担河^察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔？（利用橢圓的對稱性特征）

　　以直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系、

　�、谠O(shè)點：設(shè)焦距為，則、設(shè)為橢圓上任意一點，點與點的距離之和為、

　　③列式：動點滿足的幾何約束條件:

　　坐標化為：

　�、芑�簡：化簡橢圓方程是本節(jié)課的難點，突破難點的方法是引導學生思考如何去根號

　　2、問一問

　　問題5：焦點在軸上的橢圓的標準方程是什么？

　�。ㄓ蓪W生動手列式，，引導學生觀察焦點在軸上與焦點在軸上式子的差異，從而用類比的方法得到焦點在軸上橢圓的標準方程）

　　如果橢圓的焦點在軸上，其焦點坐標為，，用同樣的方法可以推出它的標準方程

　　問題6：如何用幾何圖形解釋？在橢圓中分別表示哪些線段的長？

　　1、讓學生由圓的標準方程的推導過程，類比的推導橢圓的標準方程。

　　2、橢圓方程不止一種，建立的坐標系不同，橢圓方程的表達形式也不同，在高中階段只掌握焦點在坐標軸上的橢圓的標準方程。

　　3、進一步熟悉用坐標法求動點軌跡方程的方法，掌握化簡含根號等式的方法，提高運算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神，感受數(shù)學的簡潔美、對稱美

　　4、數(shù)形結(jié)合的思想的靈活應用，進一步深化鞏固數(shù)學思想方法

　　做好準備，以備個別學生想到此種方法

　　四、課堂探究

　　探究一：判斷分別滿足下列條件的動點的軌跡是否為橢圓

　�。�1）到點和點的距離之和為6的點的軌跡；（是）

　�。�2）到點和點的距離之和為4的點的軌跡；（不是）

　�。�3）到點和點的距離之和為3的點的軌跡；（不是）

　　(4).已知橢圓的標準方程為，請?zhí)羁眨篴=_____,b=_____,c=_____,焦點坐標為_________________,焦距等于_________.

　　探究二：判定下列橢圓的標準方程在哪個軸上，并寫出焦點的坐標

　�。�1）（在軸上，焦點為，）

　�。�2）（在軸上，焦點為，）

　�。�3）（在軸上，焦點為，）

　　1、鞏固橢圓的定義

　　2、通過本題的練習，使學生能加深橢圓的焦距與標準方程之間關(guān)系的理解，同時會求標準方程的基本量，教學時應引導學生逐層深入，養(yǎng)成求橢圓標準方程先看焦點位置的良好習慣。

　　五、課堂小結(jié)

　　問題：這節(jié)課你學到了什么？請談談你的收獲.

　　1、知識內(nèi)容收獲：一個定義（橢圓的定義）；兩個方程（橢圓的兩種標準方程）；及橢圓中之間的關(guān)系。

　　2、學習過程收獲：

　　①鞏固了動點的軌跡方程的求法；

　�、谕ㄟ^推導橢圓的標準方程的過程，學會了兩個根式相加的式子的化簡方法，同時提高了自己的運算能力。

　　3、數(shù)學思想和方法：數(shù)形結(jié)合思想；轉(zhuǎn)化化歸思想；分類討論思想。

　　目的：培養(yǎng)學生的概括總結(jié)能力

　　六、課后鞏固練習

　　1、課后思考：當把橢圓的兩個焦點合二為一了后，得到的圖形是什么？你能總結(jié)出什么樣的規(guī)律？

　　2、書面作業(yè)：

　　課本練習2:1,2,3

　　是對本節(jié)課新知內(nèi)容及學習方法的鞏固，同時啟發(fā)學生思考，讓學生更有興趣繼續(xù)研究橢圓

　　七、板書設(shè)計

　　橢圓及其標準方程

　　一、畫橢圓

　　二、定義：

　　注明：

　　①若，則點的軌跡不存在；

　　②若，則軌跡為線段

　　三、橢圓的標準方程

　　焦點在軸上時，

　　焦點在軸上時，

　　八、設(shè)計感想

　　上本節(jié)課前本人閱讀了大量圓錐曲線的知識，對各種不同的橢圓定義引題進行了分析比較，通過各位同事耐心的指導和多次的討論，最終采用了以現(xiàn)實生活中橢圓的應用引入，充分展現(xiàn)了知識的形成過程，有利于學生自主探究與創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。但在設(shè)計過程仍遇到很多我無法解決的問題，比如如何將圓錐曲線背景知識融入到課堂；如何用幾何畫板將紙張的翻折更形象的演示等等。如何加以改進，這是在后續(xù)教學中需要思考的問題。這也反映了我在新課程面前的不足，認識到教師自身專業(yè)發(fā)展與能力提高的重要性與緊迫感；認識到新課程下的教師不再是靜態(tài)的蠟燭、明燈抑或是航標，而是一名充滿激情的主持人，一名銳意進取的先行者這樣一個角色的轉(zhuǎn)換；認識到新課改的成功要從我做起，從現(xiàn)在做起！