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《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》說課稿
尊敬的各位評委、各位老師：
大家好！
我說課的題目是人教版普通高中課程選修2-1第二章第一節(jié)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》。下面我就教材分析、學(xué)生情況分析、教學(xué)目標(biāo)、教法與學(xué)法、教學(xué)過程的設(shè)計、板書設(shè)計、教學(xué)設(shè)計說明這幾方面內(nèi)容向大家進(jìn)行闡述。
一、教材分析
圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中十分重要的內(nèi)容，它的許多幾何性質(zhì)在日常生活、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)是《圓錐曲線與方程》的第一節(jié)課，主要學(xué)習(xí)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。它是本章也是整個解析幾何部分的重要基礎(chǔ)知識，原因如下：
第一，在教材結(jié)構(gòu)上，本節(jié)內(nèi)容起到一個承上啟下的重要作用。前面學(xué)生用坐標(biāo)法研究了直線和圓，而對橢圓概念與方程的研究是坐標(biāo)法的深入，也適用于對雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)，更是解決圓錐曲線問題的一種有效方法。
第二，對橢圓定義與方程的研究，將曲線與方程對應(yīng)起來，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)與形結(jié)合的重要思想。而這種思想，將貫穿于整個高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。
第三，對橢圓定義與方程的探究過程，使學(xué)生經(jīng)歷了觀察、猜測、實驗、推理、交流、反思等理性思維過程，培養(yǎng)了學(xué)生的思維方式，加強(qiáng)了運算能力，提高了他們提出問題、分析問題、解決問題的能力，為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。
二、學(xué)生情況分析
1.在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容以前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，初步了解了用坐標(biāo)法求曲線的方程及其基本步驟，經(jīng)歷了動手實驗、觀察分析、歸納概括、建立模型的基本過程，這為進(jìn)一步學(xué)習(xí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程奠定了基礎(chǔ)。
2.經(jīng)過兩年的高中學(xué)習(xí)，學(xué)生的計算能力、分析解決問題的能力、歸納概括能力、建模能力都有了明顯提高，使得進(jìn)一步探究學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容成為可能。但是，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，橢圓定義的歸納概括、方程的推導(dǎo)化簡對學(xué)生是一個考驗，可能會有一部分學(xué)生探究學(xué)習(xí)受阻，教師要適時加以點撥指導(dǎo)。
三、教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)學(xué)生的實際、課標(biāo)的要求和本節(jié)課內(nèi)容的特點，教學(xué)目標(biāo)確定如下：
�。ㄒ唬┙虒W(xué)目標(biāo)
1.通過觀察、實驗、證明等方法的運用，讓學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓
標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，并根據(jù)條件會求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
2.通過對橢圓的認(rèn)識及其方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的分析、探究、抽象、概括等邏輯思維能力，加強(qiáng)用坐標(biāo)法解決圓錐曲線問題的能力。
3.鼓勵學(xué)生大膽猜想、論證，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使他們獲得成功的體驗。
�。ǘ┙虒W(xué)重點和難點
1.重點：感受建立曲線方程的基本過程，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)方法。
2.難點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。
四、教法與學(xué)法
1．教法
為了使學(xué)生更主動地參加到課堂教學(xué)中，體現(xiàn)以學(xué)生為主體的探究性學(xué)習(xí)和因材施教的原則，故采用自主探究法。按照“創(chuàng)設(shè)情境——自主探究——建立模型——拓展應(yīng)用”的模式來組織教學(xué)。
2．學(xué)法
在教學(xué)過程中，要充分調(diào)動學(xué)生的積極性和主動性，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的時間和空間。讓他們經(jīng)歷橢圓圖形的形成過程、定義的歸納概括過程、方程的推導(dǎo)化簡過程，主動地獲取知識。
3．教學(xué)準(zhǔn)備
(1)學(xué)生準(zhǔn)備：一支鉛筆、兩個圖釘、一根細(xì)繩、一張硬紙板。
(2)教師準(zhǔn)備：用幾何畫板制作的相關(guān)課件。
五、教學(xué)過程的設(shè)計
�。ㄒ唬﹦�(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)引入
首先，提出問題：“前一段時間我們學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，用到了兩種方法，是什么呢？”學(xué)生經(jīng)過回憶，容易得出結(jié)論。這時，教師指出：這兩種方法是解析幾何中研究曲線與方程常用的方法。
接下來我用課件演示一些天體運行的軌跡圖，并提出問題：“這些天體運行的軌跡是什么呢？”
學(xué)生經(jīng)過觀察，很直觀地看出是橢圓，從而引出課題。
再次提問：“我們能否求出這些天體運行的軌跡方程呢？學(xué)習(xí)了本節(jié)課的內(nèi)容，就可以解決這個問題�！�
這樣設(shè)計的意圖是：一方面，通過復(fù)習(xí)前面學(xué)過的有關(guān)知識，喚起學(xué)生的記憶，為本節(jié)課學(xué)習(xí)作好鋪墊。另一方面，借助多媒體生動、直觀的演示，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)橢圓的重要性和必要性。同時，激發(fā)他們探求實際問題的興趣，使他們主動、積極地參與到教學(xué)中來，為后面的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。
�。ǘ﹦邮謱嶒�，歸納概念
“一石激起千層浪”，一個富有挑戰(zhàn)性的問題，將會把學(xué)生帶入自主探究的情境中去。此時，學(xué)生已經(jīng)有了濃厚的學(xué)習(xí)興趣，我繼續(xù)提問：“你們還記得前面我們不用圓規(guī)是怎樣畫出圓的圖形的？又是怎樣給圓下定義的？”在學(xué)生回答后，我用課件演示圓的形成過程。
接著，我讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的學(xué)具，動手實驗。類比畫圓的過程，看能否畫出橢圓，并給予指導(dǎo)。待大多數(shù)學(xué)生都有了結(jié)果后，我再用課件演示畫橢圓的過程。提出問題：“在畫圖的過程中，哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有變？”
讓學(xué)生根據(jù)自己的實驗，觀察回答：“兩定點間的距離沒變，繩子的長度沒變，點在運動�！�
我繼續(xù)提問：“你們能根據(jù)剛才畫橢圓的過程，類比圓的定義，歸納概括出橢圓的定義嗎？”
先讓學(xué)生獨立思考一分鐘，然后同桌交流，再進(jìn)行全班交流，逐步完善，概括出橢圓的定義。
橢圓的定義：
平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（r;"/>" v:shapes="_x0000_i1028" alt="" />|）的點的軌跡叫做橢圓。定點叫做橢圓的焦點，間的距離叫做橢圓的焦距。得到橢圓的定義后，我會引導(dǎo)學(xué)生對定義中的關(guān)鍵詞進(jìn)行分析理解，幫助學(xué)生更好地領(lǐng)會橢圓的定義。
此時，可能會有學(xué)生提出：“為何‘常數(shù)’要大于兩定點間的距離呢？等于、小于又如何呢？”
我不急于告訴學(xué)生答案，先讓學(xué)生思考并發(fā)表自己的見解，最后再用課件演示進(jìn)行說明。
這樣設(shè)計的意圖是：以活動為載體，讓學(xué)生在“做”中學(xué)數(shù)學(xué)，通過畫橢圓，經(jīng)歷知識的形成過程，積累感性經(jīng)驗。同時，我力求改變單一、被動的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，給他們提供一個自主探索學(xué)習(xí)的機(jī)會，讓他們通過觀察、討論，歸納概括出橢圓的定義，這樣既獲得了知識，又培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維、歸納概括的能力。
（三）啟發(fā)引導(dǎo)，推導(dǎo)方程
提出了問題就要解決問題，怎么推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？讓學(xué)生運用研究直線與圓的方程的方法——坐標(biāo)法，去推導(dǎo)橢圓的方程。本環(huán)節(jié)我按如下幾個步驟進(jìn)行：
（1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出動點的坐標(biāo)
我啟發(fā)學(xué)生類比求圓的方程的建系方法，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系。學(xué)生可能會有如下幾種建系方案：
方案1：以定點F1為原點，兩定點的連線為X軸；
方案2：以定點F2為原點，兩定點的連線為X軸；
方案3：以兩定點的連線為X軸，其垂直平分線為Y軸；
方案4：以兩定點的連線為Y軸，其垂直平分線為X軸。
我加以引導(dǎo)：根據(jù)建立坐標(biāo)系的一般原則，使點的坐標(biāo)、幾何量的表達(dá)式簡單化，并使得到的方程具有“對稱美”“簡潔美”的特點，你們會選擇哪種方案呢？經(jīng)過討論，大多數(shù)學(xué)生可能會選擇方案3或方案4來推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，我表示贊同。按方案3建系，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)出動點M的坐標(biāo)及相關(guān)常數(shù)。
�。�2）寫出動點M滿足的集合
這里我啟發(fā)學(xué)生根據(jù)橢圓的定義，寫出動點M滿足的集合，即：
P＝｛M |│MF1│+│MF2│| =2a｝
如果學(xué)生有困難，可以安排進(jìn)行小組討論交流。
(3)坐標(biāo)化
引導(dǎo)學(xué)生在設(shè)點的基礎(chǔ)上,將前面得到的關(guān)系式用坐標(biāo)表示出來。這里學(xué)生不會有太大的困難,絕大多數(shù)學(xué)生都能得到方程:
(4)化簡
帶根式的方程的化簡，學(xué)生會感到困難,這也是教學(xué)的一個難點。特別是由點適合的條件列出的方程為兩個二次根式的和等于一個非零常數(shù)的形式，化簡時要進(jìn)行兩次平方,且方程中字母多,次數(shù)高，初中代數(shù)中沒有做過這樣的題目，教學(xué)時，要注意說明這類方程的化簡方法。一般來說：
①方程中只有一個二次根式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其它各項移到另一邊，平方一次；②方程中有兩個二次根式時，需將它們分散，放在方程的兩邊，使其中一邊只有一個根式，平方兩次。
接著讓學(xué)生自己動手開始化簡。我安排一名程度較好的學(xué)生上來板演，以便點評。待大多數(shù)學(xué)生都有了結(jié)果
之后，我指出：這個方程還不夠簡潔對稱，讓學(xué)生觀察圖形：
提出問題：“你們能從圖中找出表示a、c、
的線段嗎？”
通過觀察，學(xué)生容易得出結(jié)論，并理解了換元的合理性。這樣不僅使方程具有了對稱性，而且使字母b也有了明確的幾何意義。從而將方程簡化為：
告訴學(xué)生:可以證明它就是橢圓的方程，我們稱它為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
小結(jié)：這樣用坐標(biāo)法推導(dǎo)出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也是求曲線方程的一般方法，總結(jié)步驟為：（1）建系設(shè)點（2）寫出動點滿足的集合（3）列式（4）化簡
這樣設(shè)計的意圖是：使學(xué)生完全成了學(xué)習(xí)的主人，由被動的接受變成主動的獲取。通過討論，讓學(xué)生互相交流，互相學(xué)習(xí)，培養(yǎng)他們的合作意識和謙虛好學(xué)的品質(zhì)。在師生互動的過程中，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，使他們的觀察能力、運算能力、推理能力得到訓(xùn)練，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。并感受橢圓方程、圖形的對稱美，獲得成功的喜悅！
(四)拓展引申，對比分析
本環(huán)節(jié)我首先提出問題：“剛才我們得到了焦點在X軸上的橢圓方程，如何推導(dǎo)焦點在Y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？”
學(xué)生可能不假思索地回答：“按方案4建系再推一遍”。
我啟發(fā)：“可以，還有別的方法嗎？”
學(xué)生經(jīng)過觀察思考會發(fā)現(xiàn)，只要交換坐標(biāo)軸就可以了，從而得到了焦點在Y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
接下來，我通過表格的形式，讓學(xué)生對兩種方程進(jìn)行對比分析，強(qiáng)化對橢圓方程的理解。
橢圓的定義
分 類
焦點在x軸上
焦點在y軸上
圖 像
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點坐標(biāo)
a. b .c關(guān)系
這樣設(shè)計的意圖是：通過填表，進(jìn)行對比總結(jié)，不僅使學(xué)生加深了對橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，有助于教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)，而且使學(xué)生體會和學(xué)習(xí)類比的思想方法，為后邊雙曲線、拋物線及其它知識的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。
（五）范例教學(xué)，鞏固練習(xí)
學(xué)會了知識就要運用知識。我設(shè)計了如下例題：
【例1】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點的位置，并求其坐標(biāo)（口答）：
�。�1）
�。�2）
�。�3）
【例2】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）已知橢圓的焦點坐標(biāo)是F1（－4，0）、F2（4，0），橢圓上任一點到F1、F2的距離之和為10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
（2）兩個焦點的坐標(biāo)分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過點（￣
(分析后多媒體顯示過程)
【強(qiáng)化提高——嫦娥奔月】
2007年10月24日中國“嫦娥”一號衛(wèi)星成功實現(xiàn)第一次近月制動，衛(wèi)星進(jìn)入距月球表面近月點高度約210公里，遠(yuǎn)月點高度約8600公里，且以月球的球心為一個焦點的橢圓形軌道。已知月球半徑約3475公里，試求“嫦娥”一號衛(wèi)星運行的軌跡方程。
這樣設(shè)計的意圖是:例1、例2從基礎(chǔ)入手，通過練習(xí)，使學(xué)生更好地理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，各個量之間的關(guān)系，掌握求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。設(shè)計“嫦娥奔月”題，目的在于聯(lián)系現(xiàn)實，逐層深入，由易到難，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究精神，而且使他們深刻地體會到數(shù)學(xué)來源于生活,又服務(wù)于生活實際，學(xué)以致用。
�。w納小結(jié)，布置作業(yè)
到這里，本節(jié)課的主要內(nèi)容也學(xué)習(xí)完了，讓學(xué)生歸納總結(jié)，這節(jié)課學(xué)到了什么知識？掌握了什么方法？還有什么問題？教師再概括。
�。�1）歸納小結(jié)
①兩種類型的橢圓方程的比較（注意板書內(nèi)容）
�、诳偨Y(jié)判斷焦點位置的方法。（看大�。�
�、矍笄�方程的方法：坐標(biāo)法，步驟：（1）（2）（3）（4）
（2）布置作業(yè)
1．必做題：教材P40 1，2，3
2．選做題：求與圓（x-2）2+y2=1外切，且與圓（x+2）2+y2=49內(nèi)切的動圓圓心的軌跡方程。
這樣設(shè)計的意圖是:歸納小結(jié)由學(xué)生來完成，使他們及時發(fā)現(xiàn)并糾正自己學(xué)習(xí)中存在的問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。作業(yè)由易到難，分必做題和選做題，體現(xiàn)分層教學(xué)的思想，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使各層次的學(xué)生都找到各自的學(xué)習(xí)區(qū)，進(jìn)一步促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)。
五、教學(xué)設(shè)計說明
1、教育學(xué)家波利亞說得好：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑即是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)，理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。”因此，我在教學(xué)時，盡力把學(xué)習(xí)主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生在自主探索中學(xué)到知識，掌握方法，提高能力。
2、在生活中找數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)知識解決生活中的實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
3、整節(jié)課借助多媒體，利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)意境，使得學(xué)習(xí)內(nèi)容直觀、生動，并巧妙的把待解決的問題轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過的問題，讓學(xué)生在不知不覺中掌握了數(shù)學(xué)知識。
這就是我對本節(jié)課的設(shè)計和說明，希望大家批評指正！謝謝!
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