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      2. 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題5及答案

        時間:2022-09-24 09:11:16 試題 我要投稿
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        全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題5及答案

          第一試

          一、 選擇題:(每小題6分,共36分)

          1、空間中n(n≥3)個平面,其中任意三個平面無公垂面.那么,下面四個

          結(jié)論

         。1) 沒有任何兩個平面互相平行;

         。2) 沒有任何三個平面相交于一條直線; (3) 平面間的任意兩條交線都不平行;

         。4) 平面間的每一條交線均與n 2個平面相交. 其中,正確的個數(shù)為 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

          2、若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的一段圖像可以近似地看作直線段,則當(dāng)c∈(a,b)

          時,f(c)的近似值可表示為

          (A)

          f a f b

          2

          a b

         。˙)f

          2

          (C)

          b c f a c a f b

          b a(D)f a

          c a

          f b f a b a

          3、設(shè)a>b>c,a+b+c=1,且a2+b2+c2=1,則

         。ˋ)a+b>1 (B)a+b=1 (C)a+b<1 (D)不能確定,與a、b的具體取值有關(guān)

          x2y2 3

          4、設(shè)橢圓2 2 1的離心率e ,已知點P 0, 到橢圓上的點的最遠(yuǎn)

          2ab 2 7

          ,則短半軸之長b= 4

          1111

          (A) (B) (C) (D)

          48216

          5、S={1,2,…,2003},A是S的三元子集,滿足:A中的所有元素可以組成等

          差數(shù)列.那么,這樣的三元子集A的個數(shù)是

          距離是

         。ˋ)C32003

          22

         。˙)C1001 C1002

          22

         。–)A1001 A1002(D)A32003

          6、長方體ABCD A1B1C1D1,AC1為體對角線.現(xiàn)以A為球心,AB、AD、AA1、AC1為半徑作四個同心球,其體積依次為V1、V2、V3、V4,則有 (A)V4<V1+V2+V3 (B)V4=V1+V2+V3 (C)V4>V1+V2+V3 (D)不能確定,與長方體的棱長有關(guān)

          二、 填空題:(每小題9分,共54分)

          sin3 cos3

          1、已知 k,則k的取值范圍為 .

          sin cos 2、等差數(shù)列{an}的首項a1=8,且存在惟一的k使得點(k,ak)在圓x2+y2=102上,則這樣的等差數(shù)列共有 個.

          a

          3、在四面體P ABC中,PA=PB=a,PC=AB=BC=CA=b,且a<b,則的取

          b

          值范圍為 .

          4、動點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=4(cos +isin ),定點B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2,點C為線段AB的中點,過點C作AB的垂線交OA與D,則D所在的軌跡方程為 . 5、 3k被8所除得的余數(shù)為 .

          k 12003

          6、圓周上有100個等分點,以這些點為頂點組成的鈍角三角形的個數(shù)為.

          三、 (20分)

          已知拋物線y2=2px(p>0)的一條長為l的弦AB.求AB中點M到y(tǒng)

          軸的最短距離,并求出此時點M的坐標(biāo).

          四、 (20分)

          單位正方體ABCD A1B1C1D1中,正方形ABCD的中心為點M,正方形A1B1C1D1的中心為點N,連AN、B1M. (1)求證:AN、B1M為異面直線; (2)求出AN與B1M的夾角.

          五、 (20分)

          對正實數(shù)a、b、c.求證:

          a2 8bcb2 8acc2 8ab

          ≥9.

          abc

          第二試

          一、 (50分)

          設(shè)ABCD是面積為2的長方形,P為邊CD上的一點,Q為△PAB的內(nèi)切圓與邊AB的切點.乘積PA·PB的值隨著長方形ABCD及點P的變化而變化,當(dāng)PA·PB取最小值時, (1)證明:AB≥2BC; (2)求AQ·BQ的值.

          二、 (50分)

          給定由正整數(shù)組成的數(shù)列

          a1 1,a2 2

         。╪≥1).

          an 2 an 1 an

         。1)求證:數(shù)列相鄰項組成的無窮個整點

          (a1,a2),(a3,a4),…,(a2k-1,a2k),…

          均在曲線x2+xy y2+1=0上.

         。2)若設(shè)f(x)=xn+xn-1 anx an-1,g(x)=x2 x 1,證明:g(x)整除f(x).

          三、 (50分)

          我們稱A1,A2,…,An為集合A的一個n分劃,如果 (1)A1 A2 An A; (2)Ai Aj ,1≤i<j≤n.

          求最小正整數(shù)m,使得對A={1,2,…,m}的任意一個13分劃A1,A2,…,A13,一定存在某個集合Ai(1≤i≤13),在Ai中有兩個元素a、b

          9

          滿足b<a≤b.

          8

          參考答案

          第一試

          二、填空題:

          1 1

          1、 1, ,1 ;

          2 2

          2、17;

          2

          x 1 4、

          3、 2 3,1 ;

          5、4;

          4

          y2

          1; 3

          6、117600.

          l2 l2

          ,0 ,0 l 2p,M 8p8p

          三、 .

          l ppl l p,l 2p,M 2

          2,2 p 2

          四、(1)證略;

          五、證略.

         。2)arccos

          2. 3

          第二試

          一、(1)證略(提示:用面積法,得PA·PB最小值為2,此時∠APB=90°); (2)AQ·BQ=1.

          二、證略(提示:用數(shù)學(xué)歸納法).

          三、m=117.

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