共線向量基本定理：
如果a≠0，那么向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得b=λa。
證明：
1）充分性：對(duì)于向量 a(a≠0)、b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使 b=λa，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知，向量a與b共線。
2）必要性：已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長(zhǎng)度是向量a的'長(zhǎng)度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么當(dāng)向量a與b同方向時(shí)，令 λ=m，有 b=λa，當(dāng)向量a與b反方向時(shí)，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。
3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。
證畢。
推論
兩個(gè)向量a、b共線的充要條件是：存在不全為零的實(shí)數(shù)λ、μ，使得 λa+μb=0。
證明：
1）充分性，不妨設(shè)μ≠0，則由 λa+μb=0 得 -b=(λ/μ)a。由 共線向量基本定理 知，向量a與b共線。
2）必要性，已知向量a與b共線，若a≠0，則由共線向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，實(shí)數(shù)λ、μ不全為零。若a=0，則取μ=0，取λ為任意一個(gè)不為零的實(shí)數(shù)，即有 λa+μb=0。