分式方程應(yīng)用的教案

時間：2024-10-02 05:33:23

分式方程應(yīng)用的教案

分式方程應(yīng)用的教案

分式方程應(yīng)用的教案

　　教學(xué)目標

　　1.使學(xué)生能分析題目中的等量關(guān)系，掌握列分式方程解應(yīng)用題的方法和步驟，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；

　　2.通過列分式方程解應(yīng)用題，滲透方程的思想方法，第三冊分式方程的應(yīng)用。

　　教學(xué)重點和難點

　　重點：列分式方程解應(yīng)用題.

　　難點：根據(jù)題意，找出等量關(guān)系，正確列出方程.

　　教學(xué)過程設(shè)計

　　一、復(fù)習(xí)

　　例解方程：

　　(1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;

　　(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.

　　解 (1)方程兩邊都乘以x(3+3),去分母，得

　　2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6

　　所以 x=6.

　　檢驗：當(dāng)x=6時，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

　　(2)方程兩邊都乘以x(x+12)，約去分母，得

　　15(x+12)=30x.

　　解這個整式方程，得

　　x=12.

　　檢驗：當(dāng)x=12時,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.

　　(3)整理，得

　　2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2 x+3=1,

　　即 2x+xx+3=1.

　　方程兩邊都乘以x(x+3)，去分母，得

　　2(x+3)+x2=x(x+3),

　　即 2x+6+x2=x2+3x,

　　亦即 2x－3x=－6.

　　解這個整式方程，得 x=6.

　　檢驗：當(dāng)x=6時，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

　　二、新課

　　例1 一隊學(xué)生去校外參觀，他們出發(fā)30分鐘時，學(xué)校要把一個緊急通知傳給帶隊老師，派一名學(xué)生騎車從學(xué)校出發(fā)，按原路追趕隊伍.若騎車的速度是隊伍進行速度的2倍，這名學(xué)生追上隊伍時離學(xué)校的距離是15千米，問這名學(xué)生從學(xué)校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間?

　　請同學(xué)根據(jù)題意，找出題目中的等量關(guān)系.

　　答：騎車行進路程=隊伍行進路程=15(千米)；

　　騎車的速度=步行速度的2倍；

　　騎車所用的時間=步行的時間－0.5小時.

　　請同學(xué)依據(jù)上述等量關(guān)系列出方程.

　　答案：

　　方法1 設(shè)這名學(xué)生騎車追上隊伍需x小時，依題意列方程為

　　15x=2×15 x+12.

　　方法2 設(shè)步行速度為x千米／時，騎車速度為2x千米／時，依題意列方程為

　　15x－15 2x=12.

　　解由方法1所列出的方程，已在復(fù)習(xí)中解出，下面解由方法2所列出的方程.

　　方程兩邊都乘以2x，去分母，得

　　30－15=x，

　　所以 x=15.

　　檢驗：當(dāng)x=15時，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合題意.

　　所以騎車追上隊伍所用的時間為15千米 30千米／時=12小時.

　　答：騎車追上隊伍所用的時間為30分鐘.

　　指出：在例1中我們運用了兩個關(guān)系式，即時間=距離速度，速度=距離時間.

　　如果設(shè)速度為未知量，那么按時間找等量關(guān)系列方程；如果設(shè)時間為未知量，那么按

　　速度找等量關(guān)系列方程，所列出的方程都是分式方程.

　　例2 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成.現(xiàn)由甲、乙兩隊合做兩天，剩下的工程由乙獨做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天?

　　分析；這是一個工程問題，在工程問題中有三個量，工作量設(shè)為s，工作所用時間設(shè)為t，工作效率設(shè)為m，三個量之間的關(guān)系是

　　s=mt,或t=sm，或m=st.

　　請同學(xué)根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程.

　　答案：

　　方法1 工程規(guī)定日期就是甲單獨完成工程所需天數(shù)，設(shè)為x天，那么乙單獨完成工程所需的天數(shù)就是(x+3)天，設(shè)工程總量為1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依題意，列方程為

　　2(1x+1x3)+x2－xx+3=1.

　　指出：工作效率的意義是單位時間完成的工作量.

　　方法2 設(shè)規(guī)定日期為x天，乙與甲合作兩天后，剩下的工程由乙單獨做，恰好在規(guī)定日期完成，因此乙的工作時間就是x天，根據(jù)題意列方程

　　2x+xx+3=1.

　　方法3 根據(jù)等量關(guān)系，總工作量—甲的工作量=乙的工作量，設(shè)規(guī)定日期為x天，則可列方程

　　1－2x=2x+3+x－2x+3.

　　用方法1～方法3所列出的方程，我們已在新課之前解出，這里就不再解分式方程了.重點是找等量關(guān)系列方程.

　　三、課堂練習(xí)

　　1.甲加工180個零件所用的時間，乙可以加工240個零件，已知甲每小時比乙少加工5個零件，求兩人每小時各加工的零件個數(shù).

　　2.A，B兩地相距135千米，有大，小兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘.已知大、小汽車速度的比為2：5，求兩輛汽車的速度.

　　答案：

　　1.甲每小時加工15個零件，乙每小時加工20個零件.

　　2.大，小汽車的速度分別為18千米／時和45千米／時.

　　四、小結(jié)

　　1.列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法與步驟基本相同，不同點是，解分式方程必須要驗根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面還要看解出的根是否符合題意.原方程的增根和不符合題意的根都應(yīng)舍去.

　　2.列分式方程解應(yīng)用題，一般是求什么量，就設(shè)所求的量為未知數(shù)，這種設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)直接未知數(shù).但有時可根據(jù)題目特點不直接設(shè)題目所求的量為未知量，而是設(shè)另外的量為未知量，這種設(shè)未知數(shù)的方法叫做設(shè)間接未知數(shù).在列分式方程解應(yīng)用題時，設(shè)間接未知數(shù)，有時可使解答變得簡捷.例如在課堂練習(xí)中的第2題，若題目的條件不變，把問題改為求大、小兩輛汽車從A地到達B地各用的時間，如果設(shè)直接未知數(shù)，即設(shè)，小汽車從A地到B地需用時間為x小時，則大汽車從A地到B地需(x+5－12)小時，依題意，列方程

　　135 x+5－12：135x=2：5.

　　解這個分式方程，運算較繁瑣.如果設(shè)間接未知數(shù)，即設(shè)速度為未知數(shù)，先求出大、小兩輛汽車的速度，再分別求出它們從A地到B地的時間，運算就簡便多了.

　　五、作業(yè)

　　1.填空：

　　(1)一件工作甲單獨做要m小時完成，乙單獨做要n小時完成，如果兩人合做，完成這件工作的時間是______小時；

　　(2)某食堂有米m公斤，原計劃每天用糧a公斤，現(xiàn)在每天節(jié)約用糧b公斤，則可以比原計劃多用天數(shù)是______;

　　(3)把a千克的鹽溶在b千克的水中，那么在m千克這種鹽水中的含鹽量為______千克.

　　2.列方程解應(yīng)用題.

　　(1)某工人師傅先后兩次加工零件各1500個，當(dāng)?shù)诙渭庸r，他革新了工具，改進了操作方法，結(jié)果比第一次少用了18個小時.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工時每小時加工多少零件?

　　(2)某人騎自行車比步行每小時多走8千米，如果他步行12千米所用時間與騎車行36千米所用的時間相等，求他步行40千米用多少小時?

　　(3)已知輪船在靜水中每小時行20千米，如果此船在某江中順流航行72千米所用的時間與逆流航行48千米所用的時間相同，那么此江水每小時的流速是多少千米?

　　(4)A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘.已知兩車的速度之比是5：2，求兩輛汽車各自的速度.