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      2. 正弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

        時(shí)間:2021-06-16 12:26:30 教學(xué)設(shè)計(jì) 我要投稿

        正弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

          一教學(xué)內(nèi)容分析

        正弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

          正弦定理是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)(必修5)》(人教版)第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容它既是初中解直角三角形內(nèi)容的直接延拓也是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量等知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)生活實(shí)際問題的重要工具因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。為什么要研究正弦定理?正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的?其證明方法是怎樣想到的?還有別的證法嗎?這些都是教材沒有回答而確實(shí)又是學(xué)生所關(guān)心的問題。

          本節(jié)課是正弦定理教學(xué)的第一課時(shí)其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理在課型上屬于定理教學(xué)課。因此做好正弦定理的教學(xué)不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)體會(huì)聯(lián)系發(fā)展等辯證觀點(diǎn)而且通過對(duì)定理的探究能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問題解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

          二學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

          學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容在必修4中又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和平面向量的有關(guān)內(nèi)容對(duì)解直角三角形三角函數(shù)平面向量已形成初步的知識(shí)框架這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)同時(shí)又是突破定理證明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過程并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。

          三設(shè)計(jì)思想

          培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)探究呢?建構(gòu)主義認(rèn)為:知識(shí)不是被動(dòng)吸收的而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的。這個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來理解就是:知識(shí)不是通過教師傳授得到的而是學(xué)生在一定的情境中運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)并通過與他人(在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下)協(xié)作主動(dòng)建構(gòu)而獲得的建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心視學(xué)生為認(rèn)知的主體教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)正弦定理的教學(xué)將遵循這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。

          四教學(xué)目標(biāo)

          1知識(shí)與技能:通過對(duì)任意三角形的邊與其對(duì)角的關(guān)系的探索掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。

          2過程與方法:讓學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中邊與其對(duì)角的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生通過觀察歸納猜想證明由特殊到一般得到正弦定理等方法體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。

          3情感態(tài)度與價(jià)值觀:在平等的教學(xué)氛圍中通過學(xué)生之間師生之間的交流合作和評(píng)價(jià)實(shí)現(xiàn)共同探究教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境。

          五教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

          重點(diǎn):正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)

          難點(diǎn):正弦定理的推導(dǎo)

          教學(xué)準(zhǔn)備:制作多媒體課件學(xué)生準(zhǔn)備計(jì)算器直尺量角器。

          六教學(xué)過程設(shè)計(jì)

          (一)設(shè)置情境

          教師:展示情景圖如圖1船從港口B航行到港口C測(cè)得BC的距離為

          船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行由于船員的疏忽沒有測(cè)得CA距離如果船上有測(cè)角儀我們能否計(jì)算出AB的距離?

          學(xué)生:思考提出測(cè)量角AC。

          教師:若已知測(cè)得

          如何計(jì)算AB兩地距離?

          師生共同回憶解直角三角形①直角三角形中已知兩邊可以求第三邊及兩個(gè)角。②直角三角形中已知一邊和一角可以求另兩邊及第三個(gè)角。

          教師引導(dǎo):

          是斜三角形能否利用解直角三角形精確計(jì)算AB呢?

          設(shè)計(jì)意圖:興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭那就意味著成功的一半。因此我通過從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問題引入激發(fā)學(xué)生思維激發(fā)學(xué)生的求知欲引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題在解決問題后對(duì)特殊問題一般化得出一個(gè)猜測(cè)性的結(jié)論猜想培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。

          (二)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證猜想

          教師:給學(xué)生指明一個(gè)方向我們先通過特殊例子檢驗(yàn)

          是否成立舉出特例。

          (1)在△ABC中ABC分別為

          對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a:b:c為1:1:1對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為

          引導(dǎo)學(xué)生考察

          的關(guān)系。(學(xué)生回答它們相等)

          (2)在△ABC中ABC分別為

          對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a:b:c為1:1:

          對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為

          1;(學(xué)生回答它們相等)

          (3)在△ABC中ABC分別為

          對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a:b:c為1:

         。2對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為

          1。(學(xué)生回答它們相等)(圖3)

          教師:對(duì)于

          呢?

          學(xué)生:思考交流得出如圖4在Rt

          ABC中設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

          則有

          又

          ,

          則

          從而在直角三角形ABC中

          教師:那么任意三角形是否有

          呢?

          借助于電腦與多媒體利用《幾何畫板》軟件演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個(gè)比值的變化情況。

          結(jié)論:

          對(duì)于任意三角形都成立。

          設(shè)計(jì)意圖:通過《幾何畫板》軟件的演示使學(xué)生對(duì)結(jié)論的認(rèn)識(shí)從感性逐步上升到理性。

         。ㄈ┳C明猜想得出定理

          師生活動(dòng):

          教師:我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)多媒體技術(shù)支持對(duì)任意的三角形如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明

          呢?前面探索過程對(duì)我們有沒有啟發(fā)?學(xué)生分組討論每組派一個(gè)代表總結(jié)。(以下證明過程根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述)

          學(xué)生:思考得出

          (1)在

          中成立如前面檢驗(yàn)。

          (2)在銳角三角形中如圖5設(shè)

          (3)在鈍角三角形中如圖6設(shè)

          同銳角三角形證明可知

          教師:我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理:在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等即

          #FormatImgID_114#

          教師:還有其它證明方法嗎?

          學(xué)生:思考得出分析圖形(圖7)對(duì)于任意△ABC由初中所學(xué)過的面積公式可以得出:

          而由圖中可以看出:

          等式

          中均除以

          后可得

          即

          教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生同時(shí)板書證明過程。

          在剛才的.證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高

          三角形的面積:

          能否得到新面積公式

          學(xué)生:

          得到三角形面積公式

          設(shè)計(jì)意圖:經(jīng)歷證明猜想的過程進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)論證猜想力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。

         。ㄋ模├枚ɡ斫鉀Q引例

          師生活動(dòng):

          教師:現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。

          學(xué)生:馬上得出

          在

          中

         。ㄎ澹┝私饨馊切胃拍

          設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生了解解三角形概念形成知識(shí)的完整性。

          教師:一般地把三角形的三個(gè)角

          和它們的對(duì)邊

          叫做三角形的元素已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形。

          設(shè)計(jì)意圖:利用正弦定理重新解決引例讓學(xué)生體會(huì)用新的知識(shí)新的定理解決問題更方便更簡(jiǎn)單激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識(shí)的欲望。

         。┻\(yùn)用定理解決例題

          師生活動(dòng):

          教師:引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。

          學(xué)生:討論正弦定理可以解決的問題類型:

          (1)如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊求三角形的另一角和另兩邊如

          ;

          (2)如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角求另一邊與另兩角如

          。

          師生:例1的處理先讓學(xué)生思考回答解題思路教師板書讓學(xué)生思考主要是突出主體教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。

          例1:在

          中已知

          解三角形。

          分析已知三角形中兩角及一邊求其他元素第一步可由三角形內(nèi)角和為

          求出第三個(gè)角C再由正弦定理求其他兩邊。

          例2:在

          中已知

          解三角形。

          例2的處理目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想可先讓中等學(xué)生講解解題思路其他同學(xué)補(bǔ)充交流。

          學(xué)生:反饋練習(xí)(教科書第5頁(yè)的練習(xí))

          用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。

          設(shè)計(jì)意圖:自己解決問題提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感變要我學(xué)為我要學(xué)我要研究的主動(dòng)學(xué)習(xí)。

          (七)嘗試小結(jié):

          教師:提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。

          學(xué)生:思考交流歸納總結(jié)。

          師生:讓學(xué)生嘗試小結(jié)教師及時(shí)補(bǔ)充要體現(xiàn):

          (1)正弦定理的內(nèi)容(

          )及其證明思想方法。

          (2)正弦定理的應(yīng)用范圍:①已知三角形中兩角及一邊求其他元素;②已知三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角求其他元素。

          (3)分類討論的數(shù)學(xué)思想。

          設(shè)計(jì)意圖:通過學(xué)生的總結(jié)培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。

         。ò耍┳鳂I(yè)設(shè)計(jì)

          作業(yè):第10頁(yè)[習(xí)題1.1]A組第12題。

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