正弦定理優(yōu)秀教案設計
教學目標:
1.讓學生從已有的幾何知識出發(fā), 通過對任意三角形邊角關系的探索,共同探究在任意三角形中,邊與其對角的關系,引導學生通過觀察,實驗,猜想,驗證,證明,由特殊到一般歸納出正弦定理,掌握正弦定理的內容及其證明方法,理解三角形面積公式,并學會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。
2.通過對實際問題的探索,培養(yǎng)學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力,增強學生的協(xié)作能力和交流能力,發(fā)展學生的創(chuàng)新意識,培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。
3.通過學生自主探索、合作交流,親身體驗數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質,增強學習的成功心理,激發(fā)學習數(shù)學的興趣。
4.培養(yǎng)學生合情合理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想方法,通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
教學重點與難點
教學重點:正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明;正弦定理的簡單應用。
教學難點:正弦定理的猜想提出過程。
教學準備:制作多媒體,學生準備計算器,直尺,量角器。
教學過程:
。ㄒ唬┙Y合實例,激發(fā)動機
師生活動:
師:每天我們都在科技樓里學習,對科技樓熟悉嗎?
生:當然熟悉。
師:那大家知道科技樓有多高嗎?
學生不知道。激起學生興趣!
師:給大家一個皮尺和測角儀,你能測出樓的高度嗎?
學生思考片刻,教師引導。
生1:在樓的旁邊取一個觀測點C,再用一個標桿,利用三角形相似。
師:方法可行嗎?
生2:B點位置在樓內不確定,故BC長度無法測量,一次測量不行。
師:你有什么想法?
生2:可以再取一個觀測點D.
師:多次測量取得數(shù)據,為了能與上次數(shù)據聯(lián)系,我們應把D點取在什么位置?
生2:向前或向后
師:好,模型如圖(2):我們設 正弦定理教學設計 , 正弦定理教學設計 ,CD=10,那么我們能計算出AB嗎?
生3:由 正弦定理教學設計 求出AB。
師:很好,我們可否換個角度,在 正弦定理教學設計 中,能求出AD,也就求出了AB。在 正弦定理教學設計 中,已知兩角,也就相當于知道了三個角,和其中一個角的對邊,要求出AD,就需要我們來研究三角形中的邊角關系。
師:探究一般三角形中的邊角關系,我們應從我們最熟悉的特殊三角形入手!
生4:直角三角形。
師:直角三角形的邊與角之間存在怎樣的關系?
生5:思考交流得出,如圖4,在Rt正弦定理教學設計 ABC中,設BC=a,AC=b,AB=c,
則有 正弦定理教學設計 , 正弦定理教學設計 ,又 正弦定理教學設計 ,
則 正弦定理教學設計
從而在直角三角形ABC中, 正弦定理教學設計
(三)證明猜想,得出定理
師生活動:
教師:那么,在斜三角形中也成立嗎?
用幾何畫板演示,用多媒體的手段對結論加以驗證!
但特殊不能代替一般,具體不能代替抽象,這個結果還需要嚴格的證明才能成立,如何證明哪?前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)?
學生分組討論,每組派一個代表總結。(以下證明過程,根據學生回答情況進行敘述)
教師:我們把這條性質稱為正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等.
師:我們在前面學習了平面向量,向量是解決數(shù)學問題的有力工具,而且和向量的'聯(lián)系緊密,那么同學們能否用向量的知識證明正弦定理?
學生要思考一下。
師:觀察式子結構,里面有邊及其邊的夾角,與向量的哪一部分知識有關?
生7: 向量的數(shù)量積
師:那向量的數(shù)量積的表達式是什么?
生8: 正弦定理教學設計
師:表達式里是角的余弦,我們要證明的式子里是角的正弦。
生:利用誘導公式。
師:式子變形為: 正弦定理教學設計 ,再
師:很好,那我們就用向量來證明正弦定理,同學們請試一試!
學生討論合作,就可以解決這個問題
教師:由于時間有限,對正弦定理的證明到此為止,有興趣的同學下去再探索。
設計意圖:經歷證明猜想的過程,進一步引導啟發(fā)學生利用已有的數(shù)學知識論證猜想,力圖讓學生體驗數(shù)學的學習過程。
。ㄈ├枚ɡ,解決引例
師生活動:
教師:現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。
學生:馬上得出
在 正弦定理教學設計 中, 正弦定理教學設計
正弦定理教學設計
。ㄋ模┝私饨馊切胃拍
設計意圖:讓學生了解解三角形概念,形成知識的完整性
教師:一般地,把三角形的三個角 正弦定理教學設計 、 正弦定理教學設計 、 正弦定理教學設計 和它們的對邊 正弦定理教學設計 、 正弦定理教學設計 、 正弦定理教學設計 叫做三角形的元素,已知,三角形的幾個元素,求其他元素的過程叫做解三角形。
設計意圖:利用正弦定理,重新解決引例,讓學生體會用新的知識,新的定理,解決問題更方便,更簡單,激發(fā)學生不斷探索新知識的欲望。
。ㄎ澹┻\用定理,解決例題
師生活動:
教師:引導學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。
學生:討論正弦定理可以解決的問題類型:
、偃绻阎切蔚娜我鈨蓚角與一邊,求三角形的另一角和另兩邊,如 正弦定理教學設計 ;
②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角,求另一邊與另兩角,如 正弦定理教學設計 。
師生:例1的處理,先讓學生思考回答解題思路,教師板書,讓學生思考主要是突出主體,教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。
例1:在 正弦定理教學設計 中,已知 正弦定理教學設計 , 正弦定理教學設計 , 正弦定理教學設計 ,解三角形。
分析“已知三角形中兩角及一邊,求其他元素”,第一步可由三角形內角和為 正弦定理教學設計 求出第三個角∠C,再由正弦定理求其他兩邊。
例2:在 正弦定理教學設計 中,已知 正弦定理教學設計 , 正弦定理教學設計 , 正弦定理教學設計 ,解三角形。
例2的處理,目的是讓學生掌握分類討論的數(shù)學思想,可先讓中等學生講解解題思路,其他同學補充交流
。ㄆ撸﹪L試小結:
教師:提示引導學生總結本節(jié)課的主要內容。
學生:思考交流,歸納總結。
師生:讓學生嘗試小結,教師及時補充,要體現(xiàn):
。1)正弦定理的內容( 正弦定理教學設計 )及其證明思想方法。
。2)正弦定理的應用范圍:①已知三角形中兩角及一邊,求其他元素;②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角,求其他元素。
。3)分類討論的數(shù)學思想。
設計意圖:通過學生的總結,培養(yǎng)學生的歸納總結能力和語言表達能力。
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