數(shù)的整除問(wèn)題奧數(shù)試題及答案
試問(wèn)，能否將由1至100這100個(gè)自然數(shù)排列在圓周上，使得在任何5個(gè)相連的數(shù)中，都至少有兩個(gè)數(shù)可被3整除?如果回答：“可以”，則只要舉出一種排法;如果回答：“不能”，則需給出說(shuō)明.
考點(diǎn)：數(shù)的整除特征.
分析：根據(jù)題意，可采用假設(shè)的方法進(jìn)行分析，100個(gè)自然數(shù)任意的5個(gè)數(shù)相連，可以分成20個(gè)組，使得在任何5個(gè)相連的數(shù)中，都至少有兩個(gè)數(shù)可被3整除，那么會(huì)有40個(gè)數(shù)是3的'倍數(shù)，事實(shí)上在1至100的自然數(shù)中只有33個(gè)是3倍數(shù)，所以不能.
解答：假設(shè)能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個(gè)數(shù)，
按所排列順序?qū)⑺鼈兠?個(gè)分為一組，可得20組，
其中每?jī)山M都沒(méi)有共同的數(shù)，于是，在每一組的5個(gè)數(shù)中都至少有兩個(gè)數(shù)是3的倍數(shù).
從而一共會(huì)有不少于40個(gè)數(shù)是3的倍數(shù).但事實(shí)上在1至100的這100個(gè)自然數(shù)中只有33個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，
導(dǎo)致矛盾，所以不能.
答：不能.
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