高中數(shù)學(xué)函數(shù)的應(yīng)用綜合檢測試題
第3章函數(shù)的應(yīng)用綜合檢測試題（含解析新人教A版必修1）
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分�？荚嚂r(shí)間120分鐘。
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．(2013～2014學(xué)年度河北孟村回民中學(xué)月考試題)若函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且同時(shí)滿足f(a)f(b)＜0，f(a)f(a＋b2)＞0.則()
A．f(x)在[a，a＋b2]上有零點(diǎn) B．f(x)在[a＋b2，b]上有零點(diǎn)
C．f(x)在[a，a＋b2]上無零點(diǎn) D．f(x)在[a＋b2，b]上無零點(diǎn)
[答案] B
[解析] 由已知，易得f(b)f(a＋b2)＜0，因此f(x)在[a＋b2，b]上一定有零點(diǎn)，但在其他區(qū)間上可能有零點(diǎn)，也可能沒有零點(diǎn)．
2．函數(shù)y＝1＋1x的零點(diǎn)是()
A．(－1,0) B．x＝－1
C．x＝1 D．x＝0
[答案] B
3．下列函數(shù)中，增長速度最快的是()
A．y＝20x B．y＝x20
C．y＝log20x D．y＝20x
[答案] D
4．已知函數(shù)f(x)＝2x－b的零點(diǎn)為x0，且x0(－1,1)，那么b的取值范圍是()
A．(－2,2) B．(－1,1)
C．(－12，12) D．(－1,0)
[答案] A
[解析] f(x)＝2x－b＝0，得x0＝b2，
所以b2(－1,1)，所以b(－2,2)．
5．函數(shù)f(x)＝ax＋b的零點(diǎn)是－1(a0)，則函數(shù)g(x)＝ax2＋bx的零點(diǎn)是()
A．－1 B．0
C．－1和0 D．1和0
[答案] C
[解析] 由條件知f(－1)＝0，b＝a，g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零點(diǎn)為0和－1.
6．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(xR)的部分對應(yīng)值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
由此可以判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根所在的區(qū)間是()
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－，－3)和(4，＋)
[答案] A
[解析] ∵f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，
f(－3)f(－1)＜0.
∵f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，
f(2)f(4)＜0.方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在的區(qū)間分別是(－3，－1)和(2,4)．
7．用二分法求方程f(x)＝0在區(qū)間(1,2)內(nèi)的唯一實(shí)數(shù)解x0時(shí)，經(jīng)計(jì)算得f(1)＝3，f(2)＝－5，f(32)＝9，則下列結(jié)論正確的是()
A．x0(1，32) B．x0＝－32
C．x0(32，2) D．x0＝1
[答案] C
[解析] 由于f(2)f(32)＜0，則x0(32，2)．
8．在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，應(yīng)用圖形計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
則x，y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近？(其中a，b為待定系數(shù))()
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋bx
[答案] B
[解析] 代入數(shù)據(jù)檢驗(yàn)，注意函數(shù)值．
9．設(shè)a，b，k是實(shí)數(shù)，二次函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b滿足：f(k－1)與f(k)異號，f(k＋1)與f(k)異號．在以下關(guān)于f(x)的零點(diǎn)的說法中，正確的是()
A．該二次函數(shù)的零點(diǎn)都小于k
B．該二次函數(shù)的零點(diǎn)都大于k
C．該二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)之間差一定大于2
D．該二次函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)
[答案] D
[解析] 由題意得f(k－1)f(k)＜0，f(k)f(k＋1)＜0，由零點(diǎn)的存在性定理可知，在區(qū)間(k－1，k)，(k，k＋1)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，零點(diǎn)可能是區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè)值，故D正確．
10．(2013～2014山東梁山一中期中試題)若函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)附近函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算列表如下
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f(x) －1 0.875 －0.2969 0.2246 －0.05151
那么方程x3－x－1＝0的一個(gè)近似根(精確度為0,1)為()
A．1.2 B．1.3125
C．1.4375 D．1.25
[答案] B
[解析] 由于f(1.375)＞0，f(1.3125)＜0，且
1．375－1.3125＜0.1，故選B.
11．(2013～2014河北廣平縣高一期中試題)“龜兔賽跑”講過了這樣一個(gè)故事：領(lǐng)先的兔子看著緩慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到了終點(diǎn)，用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路線，t為時(shí)間，則圖中與故事情節(jié)相吻合的是()
[答案] D
12．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，則它的一個(gè)可能的解析式為()
A．y＝2x B．y＝4－4x＋1
C．y＝log3(x＋1) D．y＝x13 (x0)
[答案] B
[解析] 由于過(1,2)點(diǎn)，排除C、D；由圖象與直線y＝4無限接近，但到達(dá)不了，即y＜4知排除A，選B.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
13．如函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一個(gè)零點(diǎn)為0，則另一個(gè)零點(diǎn)是________．
[答案] 3
[解析] 代入x＝0得m＝－3.
f(x)＝x2－3x，則x2－3x＝0得x1＝0，x2＝3
因此另一個(gè)零點(diǎn)為3.
14．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間(2,4)上的實(shí)數(shù)根時(shí)，取中點(diǎn)x1＝3，則下一個(gè)有根區(qū)間是________．
[答案] (2,3)
[解析] 設(shè)f(x)＝x3－3x－5，則f(2)＜0，f(3)＞0，f(4)＞0，有f(2)f(3)＜0，則下一個(gè)有根區(qū)間是(2,3)．
15．已知函數(shù)y＝f(x)是R上的`奇函數(shù)，其零點(diǎn)為x1，x2，…，x2013，則x1＋x2＋…＋x2013＝________.
[答案] 0
[解析] 由于奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此零點(diǎn)是對稱，所以x1＋x2＋…＋x2013＝0.
16.已知y＝x(x－1)(x＋1)的圖象如圖所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，則下列關(guān)于f(x)＝0的解敘述正確的是________．
①有三個(gè)實(shí)根；
�、趚＞1時(shí)恰有一實(shí)根；
�、郛�(dāng)0＜x＜1時(shí)恰有一實(shí)根；
�、墚�(dāng)－1＜x＜0時(shí)恰有一實(shí)根；
�、莓�(dāng)x＜－1時(shí)恰有一實(shí)根(有且僅有一實(shí)根)．
[答案] ①⑤
[解析] f(x)的圖象是將函數(shù)y＝x(x－1)(x＋1)的圖象向上平移0.01個(gè)單位得到．故f(x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，它們分別在區(qū)間(－，－1)，(0，12)和(12，1)內(nèi)，故只有①⑤正確．
三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)求函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
[解析] 解法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3＞0，
函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上必定存在零點(diǎn)．
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在區(qū)間(－1，＋)上為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
解法二：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的圖象，如圖所示，由圖象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
18．(本小題滿分12分)北京市的一家報(bào)刊攤點(diǎn)，從報(bào)社買進(jìn)《北京日報(bào)》的價(jià)格是每份0.20元，賣出的價(jià)格是每份0.30元，賣不掉的報(bào)紙可以以每份0.05元的價(jià)格退回報(bào)社．在一個(gè)月(30天計(jì)算)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報(bào)社買進(jìn)的份數(shù)必須相同，這個(gè)攤主每天從報(bào)社買進(jìn)多少份，才能使每月所獲的利潤最大？并計(jì)算他一個(gè)月最多可賺得多少元？
[解析] 設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)x份報(bào)紙，每月獲得的總利潤為y元，則依題意有
y＝0.10(20x＋10250)－0.1510(x－250)
�。�0.5x＋625，x[250,400]．
該函數(shù)在[250,400]上單調(diào)遞增，所以x＝400時(shí)，ymax＝825(元)．
答：攤主每天從報(bào)社買進(jìn)400份時(shí)，每月所獲得的利潤最大，最大利潤為825元．
19．(本小題滿分12分)某公司今年1月份推出新產(chǎn)品A，其成本價(jià)為492元/件，經(jīng)試銷調(diào)查，銷售量與銷售價(jià)的關(guān)系如下表：
銷售價(jià)x(元/件) 650 662 720 800
銷售量y(件) 350 333 281 200
由此可知，銷售量y(件)與銷售價(jià)x(元/件)可近似看作一次函數(shù)y＝kx＋b的關(guān)系(通常取表中相距較遠(yuǎn)的兩組數(shù)據(jù)所得的一次函數(shù)較為精確)．
試問：銷售價(jià)定為多少時(shí)，1月份利潤最大？并求最大利潤和此時(shí)的銷售量．
[解析] 由表可知350＝650k＋b，200＝800k＋bk＝－1，b＝1000，
故y＝－x＋1000.
設(shè)1月份利潤為W，則
W＝(x－492)(－x＋1000)＝－x2＋1492x－492000＝－(x－746)2＋64516，
當(dāng)x＝746，Wmax＝64516，此時(shí)銷售量為1000－746＝254件，即當(dāng)銷售價(jià)定為746元/件時(shí)，1月份利潤最大，最大利潤為64516元，此時(shí)銷售量為254件．
20．(本小題滿分12分)用二分法求f(x)＝x3＋x2－2x－2在x的正半軸上的一個(gè)零點(diǎn)(誤差不超過0.1)．
[解析] 顯然f(2)＝23＋22－22－2＝6＞0.
當(dāng)x＞2時(shí)f(x)＞0，又f(0)＝－2＜0，f(1)＝－2＜0，
故f(x)在(1,2)區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).
區(qū)間 中點(diǎn)值 中點(diǎn)函數(shù)值
[1,2] 1.5 0.625
[1,1.5] 1.25 －0.984
[1.25,1.5] 1.375 －0.260
[1.375,1.5] 1.438 0.165
[1.375,1.438]
因?yàn)閨1.375－1.438|＝0.063＜0.1，故f(x)＝x3＋x2－2x－2的零點(diǎn)為x＝1.4.
21．(本小題滿分12分)某城市有甲，乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同．甲家每張球臺(tái)每小時(shí)5元；乙家按月計(jì)費(fèi)，一個(gè)月中30小時(shí)以內(nèi)(含30小時(shí))每張球臺(tái)90元，超過30小時(shí)的部分每張球臺(tái)每小時(shí)2元．小張準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家中的一家租一張球臺(tái)開展活動(dòng)，其活動(dòng)時(shí)間不少于15小時(shí)，但不超過40小時(shí)．設(shè)在甲家租一張球臺(tái)開展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為f(x)元(1540)，在乙家租一張球臺(tái)開展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為g(x)元(1540)．
(1)求f(x)和g(x)；
(2)問：小張選擇哪家比較合算？為什么？
[解析] (1)f(x)＝5x(1540)；
g(x)＝90，1530，2x＋30，30＜x40.
(2)由f(x)＝g(x)，得1530，5x＝90或30＜x40，5x＝2x＋30，
即x＝18或x＝10(舍)．
當(dāng)15x＜18時(shí)，f(x)－g(x)＝5x－90＜0，
即f(x)＜g(x)，應(yīng)選甲家；
當(dāng)x＝18時(shí)，f(x)＝g(x)，即可以選甲家也可以選乙家．
當(dāng)18＜x30時(shí)，f(x)－g(x)＝5x－90＞0，
即f(x)＞g(x)，應(yīng)選乙家．
當(dāng)30＜x40時(shí)，
f(x)－g(x)＝5x－(2x＋30)＝3x－30＞0，
即f(x)＞g(x)，應(yīng)選乙家．
綜上所述：當(dāng)15x＜18時(shí)，選甲家；
當(dāng)x＝18時(shí)，可以選甲家也可以選乙家；
當(dāng)18＜x40時(shí)，選乙家．
22．(本小題滿分12分)一片森林原來面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的14，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的22.
(1)求每年砍伐面積的百分比．
(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多還能砍伐多少年？
[分析] (1)根據(jù)10年的砍伐面積為原來的一半，列方程求解．
(2)根據(jù)到今年為止，森林剩余面積為原來的22，列方程求解．
(3)求出第n年后森林剩余面積，根據(jù)森林面積至少要保留原面積的14列不等式求解．
[解析] (1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(01)，則a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12.
解得x＝1－(12)110 .
(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的22，則
a(1－x)m＝22a，即(12)m10 ＝(12)12 ，
m10＝12，解得m＝5.
故到今年為止，已砍伐了5年．
(3)設(shè)從今年開始，以后砍伐了n年，
則n年后剩余面積為22a(1－x)n.
令22a(1－x)n14a，即(1－x)n24，
(12)n10 (12)32 ，n1032，解得n15.
故今后最多還能砍伐15年．
[點(diǎn)評] 通過本題，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)高次方程、指數(shù)不等式的解法．對于高次方程應(yīng)讓學(xué)生明確，主要是開方運(yùn)算；對于指數(shù)不等式，強(qiáng)調(diào)化為同底，應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，本題中化為同底是一大難點(diǎn)．
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