《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》說(shuō)課稿
——選自人教A版數(shù)學(xué)4第一章1.2.2
一、教材分析
1、教材的地位與作用:《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》是學(xué)習(xí)三角函數(shù)定義后安排的一節(jié)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的內(nèi)容,是求三角函數(shù)值,化簡(jiǎn)三角函數(shù)式,證明三角恒等式的基本工具，是整個(gè)三角函數(shù)的基礎(chǔ)，起承上啟下的作用，同時(shí)，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法在整個(gè)中學(xué)學(xué)習(xí)中起重要作用。
2、教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)
A、知識(shí)與技能目標(biāo)：通過(guò)觀察猜想出兩個(gè)公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想讓學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)過(guò)程，理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握基本關(guān)系式在兩個(gè)方面的應(yīng)用：1)已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值能求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值;2)證明簡(jiǎn)單的三角恒等式。
B、過(guò)程與方法：培養(yǎng)學(xué)生觀察——猜想——證明的科學(xué)思維方式;通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生用舊知識(shí)解決新問(wèn)題的思想;通過(guò)求值、證明來(lái)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力;通過(guò)例題與練習(xí)提高學(xué)生動(dòng)手能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及其知識(shí)遷移能力。
C、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，體驗(yàn)探索的樂(lè)趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用。
難點(diǎn)： 同角三角函數(shù)函數(shù)基本關(guān)系在解題中的靈活選取及使用公式時(shí)由函數(shù)值正、負(fù)號(hào)的選取而導(dǎo)致的角的范圍的討論。
二、學(xué)情分析：
學(xué)生剛開(kāi)始接觸三角函數(shù)的內(nèi)容，學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，對(duì)這一方面的內(nèi)容既感到新鮮又感到陌生，很有好奇心，躍躍欲試，學(xué)習(xí)熱情高漲。
三、教法分析與學(xué)法分析：
1、教法分析：采取誘思探究性教學(xué)方法，在教學(xué)中提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情景引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)觀察、思考、類(lèi)比、討論、總結(jié)、證明，讓學(xué)生做學(xué)習(xí)的主人，在主動(dòng)探究中汲取知識(shí)，提高能力。
2、學(xué)法分析：從學(xué)生原有的知識(shí)和能力出發(fā),在教師的帶領(lǐng)下，通過(guò)合作交流,共同探索,逐步解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須注重概念、原理、公式、法則的形成過(guò)程，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)。
四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
強(qiáng)調(diào)：sin2是(sin)2并不是sin 2
設(shè)計(jì)意圖：從具體到抽象，引導(dǎo)學(xué)生完成抽象與具體之間的'相互轉(zhuǎn)換
2、思考：
問(wèn)題1：從以上的過(guò)程中，你能發(fā)現(xiàn)什么一般規(guī)律?
問(wèn)題2：你能否用代數(shù)式表示這兩個(gè)規(guī)律?
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用特殊到一般的思維來(lái)處理問(wèn)題，通過(guò)觀察思考，感知同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。
3、證明公式：(同角三角函數(shù)基本關(guān)系)
(1)、平方關(guān)系: (2)、商的關(guān)系:
回憶：任意角三角函數(shù)的定義?
學(xué)生回答：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)則：
sin=y;cos=x，
引導(dǎo)學(xué)生注意：?jiǎn)挝粓A中
所以： sin2 cos2=; =
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已知知識(shí)解決未知知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。
4、辨析討論—深化公式
辨析1思考：上述兩個(gè)公式成立有什么要求嗎?
設(shè)計(jì)意圖：注意這些關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的。如(2)式中
辨析2判斷下列等式是否成立：
設(shè)計(jì)意圖：注意“同角”，至于角的形式無(wú)關(guān)重要，突破難點(diǎn)。
辨析3思考：你能將兩個(gè)公式變形么?
(師生活動(dòng)：對(duì)于公式變式的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)靈活運(yùn)用公式的幾大要點(diǎn)。)
設(shè)計(jì)意圖：對(duì)這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運(yùn)用(正用、反用、變形用)如：
5、運(yùn)用新知、培養(yǎng)能力。
自然界的萬(wàn)物都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,大家只要養(yǎng)成善于觀察的習(xí)慣,也許每天都會(huì)有新的發(fā)現(xiàn).剛才我們發(fā)現(xiàn)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,那么這些關(guān)系式能用于解決哪些問(wèn)題呢?
例1、
思考1：條件“α是第四象限的角”有什么作用?
思考2：如何建立cosα與sinα的聯(lián)系?如何建立他們與tanα的聯(lián)系?
設(shè)計(jì)意圖：借助學(xué)生對(duì)于剛學(xué)習(xí)的知識(shí)所擁有的探求心理，讓他們學(xué)習(xí)使用兩個(gè)公式來(lái)求三角函數(shù)值。
思考：本題與例題一的主要區(qū)別在哪兒?如何解決這個(gè)問(wèn)題?
設(shè)計(jì)意圖: 對(duì)比之前例題，強(qiáng)調(diào)他們之間的區(qū)別，并且說(shuō)明解決問(wèn)題的方法：針對(duì)α可能所處的象限分類(lèi)討論。
變式2、
設(shè)計(jì)意圖:類(lèi)比練習(xí)，已知正弦，也可求余弦、正切。
變式3、
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題與變式使學(xué)生掌握基本關(guān)系式的應(yīng)用：已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值能求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值，并在求三角函數(shù)值的過(guò)程中注意由函數(shù)值正、負(fù)號(hào)的選取而導(dǎo)致的角的范圍的討論，培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論思想。突破重難點(diǎn)。
小結(jié)：(由學(xué)生自己總結(jié)，師生共同歸納得出)
3，注意：若α所在象限未定，應(yīng)討論α所在象限。
設(shè)計(jì)意圖：利用例題與變式，共同總結(jié)兩類(lèi)問(wèn)題的解決方法，培養(yǎng)學(xué)生歸納分析能力。
例2、已知tan=2，求 的值
設(shè)計(jì)意圖：
利用商的關(guān)系的靈活使用，解法多樣，通過(guò)對(duì)公式正向、逆向、變式使用加深對(duì)公式的理解與認(rèn)識(shí)。
證法2:通過(guò)變形等式,先把分式化為整式,再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可證得.
設(shè)計(jì)意圖: 同角三角函數(shù)平方關(guān)系靈活使用，通過(guò)對(duì)公式正向、逆向、變式使用加深對(duì)公式的理解與認(rèn)識(shí)。
思考：是否還有其他的證明方法?
方法3：左邊減去右邊，如果等于零，則等式成立。
方法4：左邊除以右邊，如果等于一，則等式成立。(保證分母不為零)
設(shè)計(jì)意圖:發(fā)散學(xué)生的思維,為下面的總結(jié)做好鋪墊, 突破本節(jié)難點(diǎn)
總結(jié)證明三角恒等式經(jīng)常使用的方法：
1：從等式左邊變形到右邊;
2：從恒等式出發(fā)，轉(zhuǎn)化到所要證明的等式上;
3：左邊減去右邊等于0;
4：左邊除以右邊等于1(保證分母不為零)。
6、課堂小結(jié)，深化認(rèn)識(shí)
讓學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)和學(xué)習(xí)目標(biāo)，教師再補(bǔ)充.這樣做，會(huì)檢測(cè)出學(xué)生聽(tīng)課、分析、思考和掌握知識(shí)的情況，對(duì)本節(jié)課的教學(xué)起到畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用。
公式推導(dǎo)：具體算式→觀察→猜想→論證→基本關(guān)系式
公式應(yīng)用：
一般方法(例1)：先確定象限角再求值。分類(lèi)討論思想
特殊方法(例2)：化切為弦 和化弦為切。整體思想、化歸思想
靈活運(yùn)用公式(例3):證明恒等式
7、作業(yè)布置：
(1)、已知，求 、
變式1、
變式2、
設(shè)計(jì)意圖：鞏固所學(xué)公式，并靈活運(yùn)用;分層設(shè)計(jì)，題(1)是在課堂例題的延伸，題(2)是在課堂上沒(méi)講的題型，檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力。
8、板書(shū)設(shè)計(jì)
同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
一、公式 二、例題 例2
1、sin2 cos2=1; 例1
2、tan= 變式1
公式變形： 例3
， 變式2
， 變式3 三：總結(jié)
五、教學(xué)反思：
如此設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，既復(fù)習(xí)了上一節(jié)的內(nèi)容，又充分利用舊知識(shí)帶出新知識(shí)，讓學(xué)生明白到數(shù)學(xué)的知識(shí)是相互聯(lián)系的，所以每一節(jié)內(nèi)容都應(yīng)該把它牢固掌握;在公式的推導(dǎo)中，教師是用創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的形式引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)關(guān)系式，多讓學(xué)生動(dòng)手去計(jì)算，體現(xiàn)了"教師為引導(dǎo),學(xué)生為主體,體驗(yàn)為紅線,探索得材料,研究獲本質(zhì),思維促發(fā)展"的教學(xué)思想。通過(guò)兩種不同的例題的對(duì)比，讓學(xué)生能夠明白到關(guān)系式中的開(kāi)方，是需要考慮正負(fù)號(hào)，而正負(fù)號(hào)是與角的象限有關(guān)，角的象限題目可以直接給出來(lái)，但有時(shí)是需要已知條件來(lái)推出角可能所在的象限，通過(guò)分析，把本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)解決了。由于課堂在完成例題及變式時(shí)要給予學(xué)生充分的時(shí)間思考與嘗試，故對(duì)學(xué)生的檢測(cè)只能安排在課后的作業(yè)中，作業(yè)可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容掌握的情況，能否靈活運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行合理的遷移，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題中存在的問(wèn)題，下節(jié)課教師再根據(jù)學(xué)生完成的情況加以評(píng)講，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的訓(xùn)練題，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)再上一個(gè)臺(tái)階。
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