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      2. 高考數學知識點公式整理

        時間:2022-02-17 10:49:13 總結 我要投稿

        高考數學知識點公式整理

          在平凡的學習生活中,很多人都經常追著老師們要知識點吧,知識點就是“讓別人看完能理解”或者“通過練習我能掌握”的內容。掌握知識點是我們提高成績的關鍵!下面是小編收集整理的高考數學知識點公式整理,歡迎閱讀與收藏。

        高考數學知識點公式整理

          高考數學知識點:軌跡方程的求解

          符合一定條件的動點所形成的圖形,或者說,符合一定條件的點的全體所組成的集合,叫做滿足該條件的點的軌跡.

          軌跡,包含兩個方面的問題:凡在軌跡上的點都符合給定的條件,這叫做軌跡的純粹性(也叫做必要性);凡不在軌跡上的點都不符合給定的條件,也就是符合給定條件的點必在軌跡上,這叫做軌跡的完備性(也叫做充分性).

          【軌跡方程】就是與幾何軌跡對應的代數描述。

          一、求動點的軌跡方程的基本步驟

          ⒈建立適當的坐標系,設出動點M的坐標;

          ⒉寫出點M的集合;

          ⒊列出方程=0;

          ⒋化簡方程為最簡形式;

          ⒌檢驗。

          二、求動點的軌跡方程的.常用方法:求軌跡方程的方法有多種,常用的有直譯法、定義法、相關點法、參數法和交軌法等。

          ⒈直譯法:直接將條件翻譯成等式,整理化簡后即得動點的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

          ⒉定義法:如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可利用曲線的定義寫出方程,這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

          ⒊相關點法:用動點Q的坐標x,y表示相關點P的坐標x0、y0,然后代入點P的坐標(x0,y0)所滿足的曲線方程,整理化簡便得到動點Q軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做相關點法。

          ⒋參數法:當動點坐標x、y之間的直接關系難以找到時,往往先尋找x、y與某一變數t的關系,得再消去參變數t,得到方程,即為動點的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做參數法。

          ⒌交軌法:將兩動曲線方程中的參數消去,得到不含參數的方程,即為兩動曲線交點的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

          .直譯法:求動點軌跡方程的一般步驟

          ①建系——建立適當的坐標系;

          ②設點——設軌跡上的任一點P(x,y);

          ③列式——列出動點p所滿足的關系式;

          ④代換——依條件的特點,選用距離公式、斜率公式等將其轉化為關于X,Y的方程式,并化簡;

          ⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。

          高考數學知識點:排列組合公式

          排列組合公式/排列組合計算公式

          排列P------和順序有關

          組合C-------不牽涉到順序的問題

          排列分順序,組合不分

          例如把5本不同的書分給3個人,有幾種分法."排列"

          把5本書分給3個人,有幾種分法"組合"

          1.排列及計算公式

          從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用符號p(n,m)表示.

          p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(規定0!=1).

          2.組合及計算公式

          從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數.用符號

          c(n,m)表示.

          c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!.m!);c(n,m)=c(n,n-m);

          3.其他排列與組合公式

          從n個元素中取出r個元素的循環排列數=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

          n個元素被分成k類,每類的個數分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數為

          n!/(n1!.n2!.....nk!).

          k類元素,每類的個數無限,從中取出m個元素的組合數為c(m+k-1,m).

          排列(Pnm(n為下標,m為上標))

          Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是階乘符號);Pnn(兩個n分別為上標和下標)=n!;0!=1;Pn1(n為下標1為上標)=n

          組合(Cnm(n為下標,m為上標))

          Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(兩個n分別為上標和下標)=1;Cn1(n為下標1為上標)=n;Cnm=Cnn-m

          20xx-07-0813:30

          公式P是指排列,從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合,從N個元素取R個,不進行排列。N-元素的總個數R參與選擇的元素個數!-階乘,如9!=9.8.7.6.5.4.3.2.1

          從N倒數r個,表達式應該為n.(n-1).(n-2)..(n-r+1);

          因為從n到(n-r+1)個數為n-(n-r+1)=r

          舉例:

          Q1:有從1到9共計9個號碼球,請問,可以組成多少個三位數?

          A1:123和213是兩個不同的排列數。即對排列順序有要求的,既屬于“排列P”計算范疇。

          上問題中,任何一個號碼只能用一次,顯然不會出現988,997之類的組合,我們可以這么看,百位數有9種可能,十位數則應該有9-1種可能,個位數則應該只有9-1-1種可能,最終共有9.8.7個三位數。計算公式=P(3,9)=9.8.7,(從9倒數3個的乘積)

          Q2:有從1到9共計9個號碼球,請問,如果三個一組,代表“三國聯盟”,可以組合成多少個“三國聯盟”?

          A2:213組合和312組合,代表同一個組合,只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的,屬于“組合C”計算范疇。

          上問題中,將所有的包括排列數的個數去除掉屬于重復的個數即為最終組合數C(3,9)=9.8.7/3.2.1

          排列、組合的概念和公式典型例題分析

          例1設有3名學生和4個課外小組.(1)每名學生都只參加一個課外小組;(2)每名學生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學生參加.各有多少種不同方法?

          解(1)由于每名學生都可以參加4個課外小組中的任何一個,而不限制每個課外小組的人數,因此共有種不同方法.

          (2)由于每名學生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學生參加,因此共有種不同方法.

          點評由于要讓3名學生逐個選擇課外小組,故兩問都用乘法原理進行計算.

          例2排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少種?

          解依題意,符合要求的排法可分為第一個排、、中的某一個,共3類,每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出:

          ∴符合題意的不同排法共有9種.

          點評按照分“類”的思路,本題應用了加法原理.為把握不同排法的規律,“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法,也是解決計數問題的一種數學模型.

          例3判斷下列問題是排列問題還是組合問題?并計算出結果.

          (1)高三年級學生會有11人:①每兩人互通一封信,共通了多少封信?②每兩人互握了一次手,共握了多少次手?

          (2)高二年級數學課外小組共10人:①從中選一名正組長和一名副組長,共有多少種不同的選法?②從中選2名參加省數學競賽,有多少種不同的選法?

          (3)有2,3,5,7,11,13,17,19八個質數:①從中任取兩個數求它們的商可以有多少種不同的商?②從中任取兩個求它的積,可以得到多少個不同的積?

          (4)有8盆花:①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆,有多少種不同的選法?②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法?

          分析(1)①由于每人互通一封信,甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信,所以與順序有關是排列;②由于每兩人互握一次手,甲與乙握手,乙與甲握手是同一次握手,與順序無關,所以是組合問題.其他類似分析.

          (1)①是排列問題,共用了封信;②是組合問題,共需握手(次).

          (2)①是排列問題,共有(種)不同的選法;②是組合問題,共有種不同的選法.

          (3)①是排列問題,共有種不同的商;②是組合問題,共有種不同的積.

          (4)①是排列問題,共有種不同的選法;②是組合問題,共有種不同的選法.

          例4證明.

          證明左式

          右式.

          ∴等式成立.

          點評這是一個排列數等式的證明問題,選用階乘之商的形式,并利用階乘的性質,可使變形過程得以簡化.

          例5化簡.

          解法一原式

          解法二原式

          點評解法一選用了組合數公式的階乘形式,并利用階乘的性質;解法二選用了組合數的兩個性質,都使變形過程得以簡化.

          例6解方程:(1);(2).

          解(1)原方程

          解得.

          (2)原方程可變為

          ∵,,

          ∴原方程可化為.

          即,解得

          高三數學三角函數公式

          銳角三角函數公式

          sin α=∠α的對邊 / 斜邊

          cos α=∠α的鄰邊 / 斜邊

          tan α=∠α的對邊 / ∠α的鄰邊

          cot α=∠α的鄰邊 / ∠α的對邊

          倍角公式

          Sin2A=2SinA?CosA

          Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

          tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

          (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )

          三倍角公式

          sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

          cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

          tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

          三倍角公式推導

          sin3a

          =sin(2a+a)

          =sin2acosa+cos2asina

          輔助角公式

          Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

          sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

          cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

          tant=B/A

          Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

          降冪公式

          sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

          cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

          tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

          推導公式

          tanα+cotα=2/sin2α

          tanα-cotα=-2cot2α

          1+cos2α=2cos^2α

          1-cos2α=2sin^2α

          1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

          =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina

          =3sina-4sin3a

          cos3a

          =cos(2a+a)

          =cos2acosa-sin2asina

          =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa

          =4cos3a-3cosa

          sin3a=3sina-4sin3a

          =4sina(3/4-sin2a)

          =4sina[(√3/2)2-sin2a]

          =4sina(sin260°-sin2a)

          =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

          =4sina.2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2].2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

          =4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

          cos3a=4cos3a-3cosa

          =4cosa(cos2a-3/4)

          =4cosa[cos2a-(√3/2)2]

          =4cosa(cos2a-cos230°)

          =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

          =4cosa.2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2].{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

          =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

          =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

          =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

          =4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

          上述兩式相比可得

          tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

          半角公式

          tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

          cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

          sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

          cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

          tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

          三角和

          sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

          cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

          tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

          兩角和差

          cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

          cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

          sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

          tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

          tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

          和差化積

          sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

          sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

          cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

          cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

          tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

          tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

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