離散數(shù)學(xué)的代數(shù)系統(tǒng)理論在密碼學(xué)中的應(yīng)用論文
【摘要】本文分析了離散數(shù)學(xué)中的代數(shù)系統(tǒng)理論與密碼學(xué)課程之間的關(guān)系，闡述了離散數(shù)學(xué)在密碼學(xué)領(lǐng)域的實際應(yīng)用。
【關(guān)鍵詞】離散數(shù)學(xué)；密碼學(xué)；教學(xué)
一、引言
離散數(shù)學(xué)是計算機(jī)專業(yè)的基礎(chǔ)課，為計算機(jī)專業(yè)的后續(xù)課程提供專業(yè)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。該課程可以全方位培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和解決實際問題的能力，為學(xué)生學(xué)習(xí)其它專業(yè)課程建立數(shù)學(xué)的思想。
該課程包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論四個大部分。每個部分與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)庫，人工智能，數(shù)字邏輯，編譯原理等課程都密切相關(guān)。
本文我們將闡述離散數(shù)學(xué)中的代數(shù)系統(tǒng)理論部分與密碼學(xué)的相關(guān)性，并且分析該理論在密碼學(xué)領(lǐng)域的若干應(yīng)用。
二、代數(shù)系統(tǒng)理論與密碼學(xué)的相關(guān)性及在密碼學(xué)的應(yīng)用
離散數(shù)學(xué)中的代數(shù)系統(tǒng)理論包括代數(shù)系統(tǒng)的一些基本概念、半群與獨異點、群、環(huán)與域、格與布爾代數(shù)。代數(shù)系統(tǒng)與密碼學(xué)聯(lián)系非常緊密，為密碼學(xué)提供非常重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。現(xiàn)將代數(shù)系統(tǒng)理論在密碼學(xué)中的若干應(yīng)用列舉如下：
密碼學(xué)中，凱撒密碼是一種最簡單且最廣為人知的加密技術(shù)，是一種簡單的基于替換原理的加密技術(shù)。凱撒密碼將明文中的所有字母都在字母表上向后（或向前）按照一個固定數(shù)目進(jìn)行偏移后被替換成密文，其中固定數(shù)目的偏移量為加解密密鑰。例如當(dāng)偏移量為3，字母A將被替換成D，B變成E，其它的字母按此規(guī)則類推。在代數(shù)系統(tǒng)理論中群是一種典型的代數(shù)系統(tǒng)，具有封閉性、可結(jié)合性、含單位元以及每個元素都有逆元等性質(zhì)。從本質(zhì)上來說凱撒密碼就是一個特殊的群，是建立在26個字母之上，字母與密鑰進(jìn)行運算的剩余模群。通過對于群理論的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生更好的理解凱撒密碼的本質(zhì)。
在密碼學(xué)中有一個重要的公鑰加密算法的RSA，該算法是目前最安全的公鑰加密算法，可以抵抗目前已知的絕大多數(shù)密碼攻擊。數(shù)論中的費馬小定理為RSA提供數(shù)學(xué)上的安全性保證。通過對于費馬小定理的原理和正確性的理解可以更好的理解RSA算法的安全性，在實際中更好地使用RSA算法。
在密碼學(xué)中的橢圓曲線密碼是基于橢圓曲線的'一種公鑰密碼算法，該密碼安全性基于橢圓曲線離散對數(shù)的困難性上，是一個有限域上橢圓曲線的阿貝爾群。對于在代數(shù)系統(tǒng)理論中群和域的概念以及性質(zhì)進(jìn)行認(rèn)真學(xué)習(xí)和理解可以用于橢圓曲線密碼的學(xué)習(xí)。
三、離散數(shù)學(xué)在計算機(jī)其他學(xué)科中的應(yīng)用
離散數(shù)學(xué)在計算機(jī)研究中的作用越來越大，計算機(jī)科學(xué)中普遍采用離散數(shù)學(xué)中的一些基本概念、基本思想、基本方法，使得計算機(jī)科學(xué)越趨完善與成熟。離散數(shù)學(xué)在計算機(jī)科學(xué)和技術(shù)中有著廣泛應(yīng)用，除了在上述提到的領(lǐng)域中發(fā)揮了重要作用外，在其他領(lǐng)域也有著重要的應(yīng)用，如離散數(shù)學(xué)中的數(shù)理邏輯部分在計算機(jī)硬件設(shè)計中的應(yīng)用尤為突出，數(shù)字邏輯作為計算機(jī)科學(xué)的一個重要理論，在很大程度上起源于離散數(shù)學(xué)的數(shù)理邏輯中的命題與邏輯演算。利用命題中各關(guān)聯(lián)詞的運算規(guī)律把由高低電平表示的各信號之間的運算與二進(jìn)制數(shù)之間的運算聯(lián)系起來，使得我們可以用數(shù)學(xué)的方法來解決電路設(shè)計問題，使得整個設(shè)計過程變得更加直觀，更加系統(tǒng)化。集合論在計算機(jī)科學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用，它為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法分析奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也為許多問題從算法角度如何加以解決提供了進(jìn)行抽象和描述的一些重要方法，在軟件工程和數(shù)據(jù)庫中也會用到。代數(shù)結(jié)構(gòu)是關(guān)于運算或計算規(guī)則的學(xué)問，在計算機(jī)科學(xué)中，代數(shù)方法被廣泛應(yīng)用于許多分支學(xué)科，如可計算性與計算復(fù)雜性、形式語言與自動機(jī)、密碼學(xué)、網(wǎng)絡(luò)與通信理論、程序理論和形式語義學(xué)等，格與布爾代數(shù)理論成為電子計算機(jī)硬件設(shè)計和通訊系統(tǒng)設(shè)計中的重要工具，圖論對開關(guān)理論與邏輯設(shè)計、計算機(jī)制圖、操作系統(tǒng)、程序設(shè)計語言的編譯系統(tǒng)以及信息的組織與檢索起重要作用，其平面圖、樹的研究對集成電路的布線、網(wǎng)絡(luò)線路的鋪設(shè)、網(wǎng)絡(luò)信息流量的分析等的實用價值顯而易見。
四、結(jié)束語
通過上面的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)離散數(shù)學(xué)中的代數(shù)系統(tǒng)理論在密碼學(xué)領(lǐng)域的作用非常重要，離散數(shù)學(xué)不僅是計算機(jī)技術(shù)迅猛發(fā)展的支撐學(xué)科，更是提高學(xué)生邏輯思維能力、創(chuàng)造性思維能力以及形式化表述能力的動力源，離散數(shù)學(xué)課程所傳授的思想和方法，廣泛地體現(xiàn)在計算機(jī)科學(xué)技術(shù)及相關(guān)專業(yè)的諸領(lǐng)域，從科學(xué)計算到信息處理，從理論計算機(jī)科學(xué)到計算機(jī)應(yīng)用技術(shù)，從計算機(jī)軟件到計算機(jī)硬件，從人工智能到分布式系統(tǒng)，無不與離散數(shù)學(xué)密切相關(guān)。在現(xiàn)代計算機(jī)科學(xué)中，如果不了解離散數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，則在計算機(jī)科學(xué)中就寸步難行了。
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