數(shù)學知識點總結(jié)
總結(jié)是在一段時間內(nèi)對學習和工作生活等表現(xiàn)加以總結(jié)和概括的一種書面材料，它能夠給人努力工作的動力，不妨坐下來好好寫寫總結(jié)吧。總結(jié)怎么寫才能發(fā)揮它的作用呢？以下是小編精心整理的數(shù)學知識點總結(jié)，歡迎大家分享。
數(shù)學知識點總結(jié)1
一、直線與圓：
1、直線的傾斜角 的范圍是
在平面直角坐標系中，對于一條與 軸相交的直線 ，如果把 軸繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線 重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為， 就叫做直線的傾斜角。當直線 與 軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0;
2、斜率：已知直線的傾斜角為α，且α≠90°，則斜率k=tanα.
過兩點(x1,y1),(x2,y2)的直線的斜率k=( y2-y1)/(x2-x1)，另外切線的斜率用求導的方法。
3、直線方程：⑴點斜式：直線過點 斜率為 ，則直線方程為 ,
�、菩苯厥剑褐本�在 軸上的截距為 和斜率，則直線方程為
4、 ， ,① ∥ , ; ② .
直線 與直線 的位置關系：
(1)平行 A1/A2=B1/B2 注意檢驗(2)垂直 A1A2+B1B2=0
5、點 到直線 的距離公式 ;
兩條平行線 與 的距離是
6、圓的標準方程： .⑵圓的一般方程：
注意能將標準方程化為一般方程
7、過圓外一點作圓的切線,一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與軸垂直的直線.
8、直線與圓的位置關系,通常轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關系,或者利用垂徑定理,構(gòu)造直角三角形解決弦長問題.① 相離 ② 相切 ③ 相交
9、解決直線與圓的關系問題時,要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形) 直線與圓相交所得弦長
二、圓錐曲線方程：
1、橢圓： ①方程 (a>b>0)注意還有一個;②定義: PF1+PF2=2a>2c; ③ e= ④長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c; a2=b2+c2 ;
2、雙曲線：①方程 (a,b>0) 注意還有一個;②定義: PF1-PF2=2a<2c; ③e= ;④實軸長為2a，虛軸長為2b，焦距為2c;漸進線 或 c2=a2+b2
3、拋物線 ：①方程y2=2px注意還有三個，能區(qū)別開口方向; ②定義:PF=d焦點F( ,0),準線x=- ;③焦半徑 ; 焦點弦=x1+x2+p;
4、直線被圓錐曲線截得的弦長公式：
5、注意解析幾何與向量結(jié)合問題：1、 , . (1) ;(2) .
2、數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量abcosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即
3、模的計算：a= . 算�？梢韵人阆蛄康钠椒�
4、向量的運算過程中完全平方公式等照樣適用：
三、直線、平面、簡單幾何體：
1、學會三視圖的分析：
2、斜二測畫法應注意的地方：
(1)在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy。畫直觀圖時，把它畫成對應軸 o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°(或135° ); (2)平行于x軸的線段長不變，平行于y軸的線段長減半.(3)直觀圖中的45度原圖中就是90度，直觀圖中的90度原圖一定不是90度.
3、表(側(cè))面積與體積公式：
�、胖w：①表面積：S=S側(cè)+2S底;②側(cè)面積：S側(cè)= ;③體積：V=S底h
�、棋F體：①表面積：S=S側(cè)+S底;②側(cè)面積：S側(cè)= ;③體積：V= S底h：
⑶臺體①表面積：S=S側(cè)+S上底S下底②側(cè)面積：S側(cè)=
�、惹蝮w：①表面積：S= ;②體積：V=
4、位置關系的證明(主要方法)：注意立體幾何證明的書寫
(1)直線與平面平行：①線線平行線面平行;②面面平行 線面平行。
(2)平面與平面平行：①線面平行面面平行。
(3)垂直問題：線線垂直 線面垂直 面面垂直。核心是線面垂直：垂直平面內(nèi)的兩條相交直線
5、求角：(步驟-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角)
⑴異面直線所成角的求法：平移法：平移直線，構(gòu)造三角形;
⑵直線與平面所成的角：直線與射影所成的角
四、導數(shù)：
1、導數(shù)的定義： 在點 處的導數(shù)記作 .
2. 導數(shù)的幾何物理意義：曲線 在點 處切線的斜率
�、賙=f/(x0)表示過曲線y=f(x)上P(x0,f(x0))切線斜率。V=s/(t) 表示即時速度。a=v/(t) 表示加速度。
3.常見函數(shù)的導數(shù)公式: ① ;② ;③ ;
4.導數(shù)的四則運算法則：
5.導數(shù)的應用：
(1)利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設函數(shù) 在某個區(qū)間內(nèi)可導,如果 ,那么 為增函數(shù);如果 ,那么為減函數(shù);
注意：如果已知 為減函數(shù)求字母取值范圍,那么不等式 恒成立。
(2)求極值的步驟：
①求導數(shù) ;
�、谇蠓匠� 的根;
�、哿斜恚簷z驗 在方程 根的左右的符號，如果左正右負,那么函數(shù) 在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么函數(shù) 在這個根處取得極小值;
(3)求可導函數(shù)最大值與最小值的步驟：
?求 的根; ?把根與區(qū)間端點函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的是最小值。
五、常用邏輯用語：
1、四種命題：
�、旁}：若p則q;⑵逆命題：若q則p;⑶否命題：若 p則 q;⑷逆否命題：若 q則 p
注：
1、原命題與逆否命題等價;逆命題與否命題等價。判斷命題真假時注意轉(zhuǎn)化。
2、注意命題的否定與否命題的區(qū)別：命題否定形式是 ;否命題是 .命題“ 或 ”的否定是“ 且 ”;“ 且 ”的否定是“ 或 ”.
3、邏輯聯(lián)結(jié)詞：
�、徘�(and) ：命題形式 p q; p q p q p q p
�、苹�(or)：命題形式 p q; 真 真 真 真 假
�、欠�(not)：命題形式 p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”;
“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”;
“非命題”的真假特點是“一真一假”
4、充要條件
由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的充分條件;由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。
5、全稱命題與特稱命題：
短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。
短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號 表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。
全稱命題p： ; 全稱命題p的否定 p：。
特稱命題p： ; 特稱命題p的否定 p：
數(shù)學知識點總結(jié)2
�。�1）先看“充分條件和必要條件”
當命題“若p則q”為真時，可表示為p=>q，則我們稱p為q的充分條件，q是p的必要條件。這里由p=>q，得出p為q的充分條件是容易理解的。
但為什么說q是p的必要條件呢？
事實上，與“p=>q”等價的逆否命題是“非q=>非p”。它的意思是：若q不成立，則p一定不成立。這就是說，q對于p是必不可少的，因而是必要的。
�。�2）再看“充要條件”
若有p=>q，同時q=>p，則p既是q的充分條件，又是必要條件。簡稱為p是q的充要條件。記作p<=>q
�。�3）定義與充要條件
數(shù)學中，只有A是B的充要條件時，才用A去定義B，因此每個定義中都包含一個充要條件。如“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”這一定義就是說，一個四邊形為平行四邊形的充要條件是它的兩組對邊分別平行。
顯然，一個定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一個含有充要條件的語句來表示。
“充要條件”有時還可以改用“當且僅當”來表示，其中“當”表示“充分”�！皟H當”表示“必要”。
�。�4）一般地，定義中的條件都是充要條件，判定定理中的條件都是充分條件，性質(zhì)定理中的“結(jié)論”都可作為必要條件。
高考數(shù)學集合復習知識點
1、集合的概念
集合是數(shù)學中最原始的不定義的概念，只能給出，描述性說明：某些制定的且不同的對象集合在一起就稱為一個集合。組成集合的對象叫元素，集合通常用大寫字母A、B、C、…來表示。元素常用小寫字母a、b、c、…來表示。
集合是一個確定的整體，因此對集合也可以這樣描述：具有某種屬性的對象的全體組成的一個集合。
2、元素與集合的關系元素與集合的關系有屬于和不屬于兩種：元素a屬于集合A，記做a∈A；元素a不屬于集合A，記做a？A。
3、集合中元素的特性
（1）確定性：設A是一個給定的集合，x是某一具體對象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。例如A={0，1，3，4}，可知0∈A，6？A。
�。�2）互異性：“集合張的元素必須是互異的”，就是說“對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的”。
�。�3）無序性：集合與其中元素的排列次序無關，如集合{a，b，c}與集合{c，b，a}是同一個集合。
4、集合的分類
集合科根據(jù)他含有的元素個數(shù)的多少分為兩類：
有限集：含有有限個元素的集合。如“方程3x+1=0”的解組成的集合”，由“2，4，6，8，組成的集合”，它們的元素個數(shù)是可數(shù)的，因此兩個集合是有限集。
無限集：含有無限個元素的集合，如“到平面上兩個定點的距離相等于所有點”“所有的三角形”，組成上述集合的元素不可數(shù)的，因此他們是無限集。
特別的，我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記錯F，如{x？R|+1=0}。
5、特定的集合的表示
為了書寫方便，我們規(guī)定常見的數(shù)集用特定的字母表示，下面是幾種常見的數(shù)集表示方法，請牢記。
（1）全體非負整數(shù)的集合通常簡稱非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記做N。
�。�2）非負整數(shù)集內(nèi)排出0的集合，也稱正整數(shù)集，記做N�；騈+。
�。�3）全體整數(shù)的集合通常簡稱為整數(shù)集Z。
�。�4）全體有理數(shù)的集合通常簡稱為有理數(shù)集，記做Q。
�。�5）全體實數(shù)的集合通常簡稱為實數(shù)集，記做R。
不等式的解集：
�、倌苁共坏仁匠闪⒌奈粗獢�(shù)的值，叫做不等式的解。
�、谝粋�含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。
�、矍蟛坏仁浇饧倪^程叫做解不等式。
不等式的判定：
�、俪Ｒ姷牟坏忍栍小�>”“<”“≤”“≥”及“≠”。分別讀作“大于，小于，小于等于，大于等于，不等于”，其中“≤”又叫作不大于，“≥”叫作不小于；
�、谠诓坏仁健癮>b”或“a
�、鄄坏忍柕拈_口所對的數(shù)較大，不等號的尖頭所對的數(shù)較�。�
�、茉诹胁坏仁綍r，一定要注意不等式關系的關鍵字，如：正數(shù)、非負數(shù)、不大于、小于等等。
數(shù)學知識點總結(jié)3
一、集合有關概念
1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。
2、集合的中元素的三個特性：1.元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性.
3、集合的表示：(1){?}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(2).用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}4
．集合的表示方法：列舉法與描述法。
常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R
5.關于“屬于”的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作a?A
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表
示某些對象是否屬于這個集合的方法。6、集合的分類：
(1)．有限集含有有限個元素的集合(2)．無限集含有無限個元素的集合
(3)．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝=Φ
二、集合間的基本關系
1.“包含”關系—子集注意：A?B有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集?B或B??A合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A?
2．“相等”關系:對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B
�、偃魏我粋�集合是它本身的子集。即A?A
�、谌绻鸄?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或BA)
�、廴绻鸄?B,B?C,那么A?C④如果A?B同時B?A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運算
1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．
記作A∩B(讀作＂A交B＂)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作＂A并B＂)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集與補集（1）補集：設S是一個集合，A是S的一個子集（即A?S），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作：CSA即CSA={x?x?S且x?A}
（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，看作一個全集。通常用U來表示。
�。�3）性質(zhì)：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U二、函數(shù)的有關概念
合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．
能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.
2.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域
再注意：（1）由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)
3．區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．4．映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A?B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A?B”
給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的；②對應法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
5.常用的函數(shù)表示法:解析法：圖象法：列表法：
6.分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；
�。�2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．7．函數(shù)單調(diào)性（1）．設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1 如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1 注意：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； �。�2）圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法 (A)定義法：○1任取x1，x2∈D，且x1 8．函數(shù)的奇偶性 �。�1）一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)． �。�2）．一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)． 注意：○1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。 2由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，○ 則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關于原點對稱）．（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征 偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱． 總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；○2確定f(－x)與f(x)的關系；○3作出相應結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．9、函數(shù)的解析表達式 （1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域. �。�2）.求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法；已知復合函數(shù)f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當已知表達式較簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)。 補充不等式的解法與二次函數(shù)（方程）的性質(zhì) 把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。 例如把28分解質(zhì)因數(shù) 28=2×2×7 幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)，例如12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因數(shù)，6是它們的最大公因數(shù)。 公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關系的兩個數(shù)，有下列幾種情況： 1和任何自然數(shù)互質(zhì)。 相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。 兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。 當合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。 兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)，如果幾個數(shù)中任意兩個都互質(zhì)，就說這幾個數(shù)兩兩互質(zhì)。 如果較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。 如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)就是1。 幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6 、8、10、12、 ?? 3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18 ?? 其中6、12、18??是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。。 如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。 如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。 幾個數(shù)的公因數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。 考點要求： 1、幾何體的展開圖、幾何體的三視圖仍是高考的'熱點。 2、三視圖和其他的知識點結(jié)合在一起命題是新教材中考查學生三視圖及幾何量計算的趨勢。 3、重點掌握以三視圖為命題背景，研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的題型。 4、要熟悉一些典型的幾何體模型，如三棱柱、長（正）方體、三棱錐等幾何體的三視圖。 知識結(jié)構(gòu)： 1、多面體的結(jié)構(gòu)特征 �。�1）棱柱有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形，每相鄰兩個四邊形的公共邊平行。 正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形。 （2）棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形。 正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐。特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體。反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心。 （3）棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形。 2、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 （1）圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到。 （2）圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到。 �。�3）圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周或等腰梯形繞上下底面中心所在直線旋轉(zhuǎn)半周得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到。 �。�4）球可以由半圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)一周或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)半周得到。 3、空間幾何體的三視圖 空間幾何體的三視圖是用平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。 三視圖的長度特征：“長對正，寬相等，高平齊”，即正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬。若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法。 4、空間幾何體的直觀圖 空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟是： （1）畫幾何體的底面 在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸、y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′=45°或135°，已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中平行于x′軸、y′軸。已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话搿?/p> �。�2）畫幾何體的高 在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長度不變。 �。ㄒ唬�、映射、函數(shù)、反函數(shù) 1、對應、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對應，而函數(shù)又是一種特殊的映射。 2、對于函數(shù)的概念，應注意如下幾點： �。�1）掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)。 �。�2）掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關系式，特別是會求分段函數(shù)的解析式。 �。�3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的復合函數(shù)，其中g(shù)（x）為內(nèi)函數(shù)，f（u）為外函數(shù)。 3、求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)的一般步驟： （1）確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域； �。�2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）； �。�3）將x，y對換，得反函數(shù)的習慣表達式y(tǒng)=f—1（x），并注明定義域。 注意①：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起。 �、谑煜さ膽茫骹—1（x0）的值，合理利用這個結(jié)論，可以避免求反函數(shù)的過程，從而簡化運算。 （二）、函數(shù)的解析式與定義域 1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域一般有三種類型： �。�1）有時一個函數(shù)來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結(jié)合實際意義考慮； �。�2）已知一個函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如： �、俜质降姆帜覆坏脼榱悖� �、谂即畏礁谋婚_方數(shù)不小于零； �、蹖�(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零； �、苤笖�(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1； �、萑呛瘮�(shù)中的正切函數(shù)y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函數(shù)y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。 應注意，一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）。 �。�3）已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。 已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿足a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f（x）的定義域，即g（x）的值域。 2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況。 �。�1）根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關系時，必須引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學的有關知識尋求函數(shù)的解析式。 �。�2）有時題設給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采用待定系數(shù)法。比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設條件，列出方程組，求出a，b即可。 �。�3）若題設給出復合函數(shù)f[g（x）]的表達式時，可用換元法求函數(shù)f（x）的表達式，這時必須求出g（x）的值域，這相當于求函數(shù)的定義域。 �。�4）若已知f（x）滿足某個等式，這個等式除f（x）是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量（如f（—x），等），必須根據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達式。 �。ㄈ�、函數(shù)的值域與最值 1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下： （1）直接法：亦稱觀察法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域。 �。�2）換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的復雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數(shù)換元，當根式里是二次式時，用三角換元。 �。�3）反函數(shù)法：利用函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f—1（x）的定義域和值域間的關系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如（a≠0）的函數(shù)值域可采用此法求得。 �。�4）配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法。 （5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函數(shù)的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧。 �。�6）判別式法：把y=f（x）變形為關于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。 �。�7）利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當能確定函數(shù)在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域。 �。�8）數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域。 2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅⿺�(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲�。因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異。 如函數(shù)的值域是（0，16]，值是16，無最小值。再如函數(shù)的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函數(shù)無值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x>0時，函數(shù)的最小值為2。可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響。 3、函數(shù)的最值在實際問題中的應用 函數(shù)的最值的應用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤”或“面積（體積）（最�。钡戎T多現(xiàn)實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值。 �。ㄋ模�、函數(shù)的奇偶性 1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f（x），如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)（或偶函數(shù)）。 正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點：（1）定義域在數(shù)軸上關于原點對稱是函數(shù)f（x）為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定義域上的恒等式。（奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)）。 2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應用定義的等價形式： 注意如下結(jié)論的運用： （1）不論f（x）是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f（|x|）總是偶函數(shù)； �。�2）f（x）、g（x）分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，那么在D1∩D2上，f（x）+g（x）是奇函數(shù)，f（x）·g（x）是偶函數(shù)，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”； �。�3）奇偶函數(shù)的復合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù)； �。�4）奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。 3、有關奇偶性的幾個性質(zhì)及結(jié)論 （1）一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對稱。 �。�2）如要函數(shù)的定義域關于原點對稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。 �。�3）若奇函數(shù)f（x）在x=0處有意義，則f（0）=0成立。 �。�4）若f（x）是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇（偶）函數(shù)在正負對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同（反）的。 （5）若f（x）的定義域關于原點對稱，則F（x）=f（x）+f（—x）是偶函數(shù)，G（x）=f（x）—f（—x）是奇函數(shù)。 �。�6）奇偶性的推廣 函數(shù)y=f（x）對定義域內(nèi)的任一x都有f（a+x）=f（a—x），則y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱，即y=f（a+x）為偶函數(shù)。函數(shù)y=f（x）對定義域內(nèi)的任—x都有f（a+x）=—f（a—x），則y=f（x）的圖象關于點（a，0）成中心對稱圖形，即y=f（a+x）為奇函數(shù)。 學好數(shù)學的方法 學好數(shù)學第一要養(yǎng)成預習的習慣。這是我多年學習數(shù)學的一個好方法，因為提前把老師要講的知識先學一遍，就知道自己哪里不會，學的時候就有重點。當然，如果完全自學就懂更好了。 第二是書后做練習題。預習完不是目的，有時間可以把例題和課后練習題做了，檢查預習情況，如果都會做說明學會了，即使不會還能再聽老師講一遍。 第三個步驟是做老師布置的作業(yè)，認真做。做的時候可以把解題過程直接寫在題目旁邊，比如選擇題和填空題，因為解答題有很多空白處可寫。這樣做的好處就是，老師講題時能跟上思路，不容易走神。 第四個學好數(shù)學的方法是整理錯題。每次考試結(jié)束后，總會有很多錯題，對于這些題目，我們不要以為上課聽懂了就會做了，看花容易繡花難，親手做過了才知道會不會。而且要把錯的題目對照書本去看，重新學習知識。 第五個提高數(shù)學成績的方法是查缺補漏。在做了大量習題以后，數(shù)學成績有所提高，但還是存在一些不會做的題目，我們要善于發(fā)現(xiàn)哪些類型的題目還存在盲區(qū)，然后逐一擊破。 下一個方法是提高數(shù)學分數(shù)段。可能數(shù)學學了一段時間，成績老是上不去，這是要總結(jié)差在哪里？基礎題還是拔高題，然后對自己提出高要求，基礎題目爭取不丟分，然后做一些有難度的題目。 第七個數(shù)學提分方法是掌握一些數(shù)學解題思路。數(shù)學很多題目都是有固定的或者是多種解題思想的，大家要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，比如歸納法、分類討論法等等。 第八個學好數(shù)學的方法是“鉆”。當遇到難題百思不得其解時，學霸們的做法通常是思考一兩天，而學酥的做法則是一掃而過，其中的差別已經(jīng)很明顯了，這也是成績差異的原因所在。 要想提高數(shù)學分數(shù)，最明智的做法是，考試遇到不會的題目先放過去，做完其他題目再回過頭來重新做難題。但不能連著放過去好幾道題目，那就有問題了。 最后一個提分方法就是合理安排答題時間，規(guī)定做選擇題和大題各多長時間，然后按照既定時間去做，這樣才能最有效的提高數(shù)學分數(shù)。 數(shù)學集合知識點 1、集合的含義 2、集合的中元素的三個特性： �。�1）元素的確定性如：世界上最高的山 �。�2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H，A，P，Y} �。�3）元素的無序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一個集合 3、集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} �。�1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5} �。�2）集合的表示方法：列舉法與描述法。 注意：常用數(shù)集及其記法： 非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N 正整數(shù)集N_或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R 1）列舉法：{a，b，c……} 2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大 括號內(nèi)表示集合的方法。{x∈R|x—3>2}，{x|x—3>2} 3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn圖： 4、集合的分類： �。�1）有限集含有有限個元素的集合 （2）無限集含有無限個元素的集合 �。�3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝ 一、角的定義 “靜態(tài)”概念：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。 “動態(tài)”概念：角可以看作是一條射線繞其端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形。 如果一個角的兩邊成一條直線，那么這個角叫做平角;平角的一半叫直角;大于直角小于平角的角叫做鈍角;大于0小于直角的角叫做銳角。 二、角的換算：1周角=2平角=4直角=360°; 1平角=2直角=180°; 1直角=90°; 1度=60分=3600秒(即：1°=60′=3600″); 1分=60秒(即：1′=60″). 三、余角、補角的概念和性質(zhì)： 概念：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補角。 如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角。 說明：互補、互余是指兩個角的數(shù)量關系，沒有位置關系。 性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等; 同角(或等角)的補角相等。 四、角的比較方法： 角的大小比較，有兩種方法： (1)度量法(利用量角器); (2)疊合法(利用圓規(guī)和直尺)。 五、角平分線：從一個角的頂點引出的一條射線。把這個角分成相等的兩部分，這條射線叫做這個角的平分線。 常見考法 (1)考查與時鐘有關的問題;(2)角的計算與度量。 誤區(qū)提醒 角的度、分、秒單位的換算是60進制，而不是10進制，換算時易受10進制影響而出錯。 【典型例題】(20xx云南曲靖)從3時到6時，鐘表的時針旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是( ) 【答案】3時到6時，時針旋轉(zhuǎn)的是一個周角的1/4，故是90度 ，本題選C. 高考數(shù)學重要知識點整理 一、求動點的軌跡方程的基本步驟 �、苯⑦m當?shù)淖鴺讼担O出動點M的坐標; �、矊懗鳇cM的集合; �、沉谐龇匠�=0; �、椿喎匠虨樽詈喰问�; �、禉z驗。 二、求動點的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關點法、參數(shù)法和交軌法等。 ⒈直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。 �、捕x法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。 �、诚嚓P點法：用動點Q的坐標x，y表示相關點P的坐標x0、y0，然后代入點P的坐標(x0，y0)所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法。 �、磪�(shù)法：當動點坐標x、y之間的直接關系難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關系，得再消去參變數(shù)t，得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。 ⒌交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。 6.直譯法：求動點軌跡方程的一般步驟 �、俳ㄏ怠⑦m當?shù)淖鴺讼? �、谠O點——設軌跡上的任一點P(x，y); ③列式——列出動點p所滿足的關系式; �、艽鷵Q——依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關于X，Y的方程式，并化簡; �、葑C明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。 人教版高三年級高考數(shù)學必考知識點 �、僬忮F各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等(它叫做正棱錐的斜高). �、谡忮F的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形. �、翘厥饫忮F的頂點在底面的射影位置： ①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心. ②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心. �、劾忮F的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心. �、芾忮F的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心. ⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心. �、奕忮F的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心. �、呙總�四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑; �、嗝總�四面體都有內(nèi)切球，球心 是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑. [注]： i.各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.(×)(各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等) ii.若一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直. 簡證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD.令得，已知則. iii.空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形一定是矩形. iv.若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊是一定是正方形. 簡證：取AC中點，則平面90°易知EFGH為平行四邊形 EFGH為長方形.若對角線等，則為正方形. 高三數(shù)學高考復習知識點 數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的基礎。高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏。有關數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學歸納法綜合在一起。 探索性問題是高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊含著豐富的數(shù)學思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學方法。 近幾年來，高考關于數(shù)列方面的命題主要有以下三個方面; (1)數(shù)列本身的有關知識，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式及求和公式。 (2)數(shù)列與其它知識的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。 (3)數(shù)列的應用問題，其中主要是以增長率問題為主。試題的難度有三個層次，小題大都以基礎題為主，解答題大都以基礎題和中檔題為主，只有個別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。 1.在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的基礎上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學和實際生活中的有關問題; 2.在解決綜合題和探索性問題實踐中加深對基礎知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法的認識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡，提高分析問題和解決問題的能力， 進一步培養(yǎng)學生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運用數(shù)學思想方法分析問題與解決問題的能力。 集合的有關概念 1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素 注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。 �、诩现械脑鼐哂写_定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。 �、奂暇哂袃煞矫娴囊饬x，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件 2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法 3)集合的分類：有限集，無限集，空集。 4)常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N 子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念 1)子集：若對x∈A都有x∈B，則AB(或AB); 2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;記為AB(或，且) 3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 5)補集：CUA={x|xA但x∈U} 注意：A，若A≠?，則?A; 若且，則A=B(等集) 集合與元素 掌握有關的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：(1)與、?的區(qū)別;(2)與的區(qū)別;(3)與的區(qū)別。 子集的幾個等價關系 �、貯∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB; ④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。 交、并集運算的性質(zhì) �、貯∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A; �、跜u(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB; 有限子集的個數(shù)： 設集合A的元素個數(shù)是n，則A有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。 練習題： 已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，則M,N,P滿足關系() A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM 分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。 解答一：對于集合M：{x|x=,m∈Z};對于集合N：{x|x=,n∈Z} 對于集合P：{x|x=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以MN=P，故選B。 正數(shù)和負數(shù) �、薄⒄龜�(shù)和負數(shù)的概念 負數(shù)：比0小的數(shù)正數(shù)：比0大的數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負數(shù) 注意：①字母a可以表示任意數(shù)，當a表示正數(shù)時，—a是負數(shù)；當a表示負數(shù)時，—a是正數(shù)；當a表示0時，—a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號的數(shù)是正數(shù)，帶負號的數(shù)是負數(shù)，這種說法是錯誤的，例如+a，—a就不能做出簡單判斷） ②正數(shù)有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數(shù)的符號是正號。 2、具有相反意義的量 若正數(shù)表示某種意義的量，則負數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如： 零上8℃表示為：+8℃；零下8℃表示為：—8℃ 3、0表示的意義 （1）0表示“沒有”，如教室里有0個人，就是說教室里沒有人； �。�2）0是正數(shù)和負數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。如： �。�3）0表示一個確切的量。如：0℃以及有些題目中的基準，比如以海平面為基準，則0米就表示海平面。 有理數(shù) 1、有理數(shù)的概念 �。�1）正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)） �。�2）正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù) �。�3）正整數(shù)，0，負整數(shù)，正分數(shù)，負分數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。 理解：只有能化成分數(shù)的數(shù)才是有理數(shù)。①π是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分數(shù)形式，不是有理數(shù)。②有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分數(shù)，都是有理數(shù)。③整數(shù)也能化成分數(shù)，也是有理數(shù) 注意：引入負數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴大了，像—2，—4，—6，—8也是偶數(shù)，—1，—3，—5也是奇數(shù)。 1、學會三視圖的分析： 2、斜二測畫法應注意的地方： （1）在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy。畫直觀圖時，把它畫成對應軸o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°（或135°）；（2）平行于x軸的線段長不變，平行于y軸的線段長減半。（3）直觀圖中的45度原圖中就是90度，直觀圖中的90度原圖一定不是90度。 3、表（側(cè)）面積與體積公式： ⑴柱體：①表面積：S=S側(cè)+2S底；②側(cè)面積：S側(cè)=；③體積：V=S底h �、棋F體：①表面積：S=S側(cè)+S底；②側(cè)面積：S側(cè)=；③體積：V=S底h： �、桥_體①表面積：S=S側(cè)+S上底S下底②側(cè)面積：S側(cè)= ⑷球體：①表面積：S=；②體積：V= 4、位置關系的證明（主要方法）：注意立體幾何證明的書寫 （1）直線與平面平行：①線線平行線面平行；②面面平行線面平行。 �。�2）平面與平面平行：①線面平行面面平行。 （3）垂直問題：線線垂直線面垂直面面垂直。核心是線面垂直：垂直平面內(nèi)的兩條相交直線 5、求角：（步驟———————Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角） ⑴異面直線所成角的求法：平移法：平移直線，構(gòu)造三角形； �、浦本�與平面所成的角：直線與射影所成的角 知識點一橢圓的定義 平面內(nèi)到兩個定點的距離之和等于常數(shù)(大于)的點的集合叫做橢圓。兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。 根據(jù)橢圓的定義可知：橢圓上的點M滿足集合，，且都為常數(shù)。 當即時，集合P為橢圓。 當即時，集合P為線段。 當即時，集合P為空集。 知識點二橢圓的標準方程 (1)，焦點在軸上時，焦點為，焦點。 (2)，焦點在軸上時，焦點為，焦點。 知識點三橢圓方程的一般式 這種形式的方程在課本中雖然沒有明確給出，但在應用中有時比較方便，在此提供出來，作為參考： (其中為同號且不為零的常數(shù)，)，它包含焦點在軸或軸上兩種情形。方程可變形為。 當時，橢圓的焦點在軸上;當時，橢圓的焦點在軸上。 一般式，通常也設為，應特別注意均大于0，標準方程為。 知識點四橢圓標準方程的求法 1.定義法 橢圓標準方程可由定義直接求得，這是求橢圓方程中很重要的方法之一,當問題是以實際問題給出時，一定要注意使實際問題有意義，因此要恰當?shù)乇硎緳E圓的范圍。 例1、在△ABC中，A、B、C所對三邊分別為，且B(-1,0)C(1,0)，求滿足，且成等差數(shù)列時，頂點A的曲線方程。 變式練習1.在△ABC中，點B(-6,0)、C(0,8)，且成等差數(shù)列。 (1)求證：頂點A在一個橢圓上運動。 (2)指出這個橢圓的焦點坐標以及焦距。 2.待定系數(shù)法 首先確定標準方程的類型，并將其用有關參數(shù)表示出來，然后結(jié)合問題的條件，建立參數(shù)滿足的等式，求得的值，再代入所設方程，即一定性，二定量，最后寫方程。 例2、已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點P(3,0)，=3b，求橢圓的標準方程。 例3、已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，求橢圓方程。 變式練習2.求適合下列條件的橢圓的方程; (1)兩個焦點分別是(-3,0)，(3,0)且經(jīng)過點(5,0). (2)兩焦點在坐標軸上，兩焦點的中點為坐標原點，焦距為8，橢圓上一點到兩焦點的距離之和為12. 3.已知橢圓經(jīng)過點和點，求橢圓的標準方程。 4.求中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點的橢圓標準方程。 知識點五共焦點的橢圓方程的求解 一般地，與橢圓共焦點的橢圓可設其方程為。 例4、過點(-3,2)且與有相同焦點的橢圓的方程為() A.B.C.D. 變式練習5.求經(jīng)過點(2，-3)且橢圓有共同焦點的橢圓方程。 知識點六與橢圓有關的軌跡問題的求解方法 與橢圓有關的軌跡方程的求解是一種很重要的題型，教材中的例題就是利用代入求球軌。跡，其基本思路是設出軌跡上一點和已知曲線上一點，建立其關系，再代入。 例5、已知圓，從這個圓上任意一點向軸作垂線段,點在上，并且,求點的軌跡。 知識點七與弦的中點有關問題的求解方法 直線與橢圓相交于兩點、,稱線段為橢圓的相交弦。與這個弦中點有點的軌跡問題是一類綜合性很強的題目，因此解此類問題必須選擇一個合理的方法，如“設而不求”法，其主要特點是巧代線段的斜率。其方程具體是：設直線與橢圓相交于兩點，坐標分別為、，線段的中點為，則有 ①式-②式，得，即 ∴ 通常將此方程用于求弦中點的軌跡方程。 例6.已知：橢圓，求： (1)以P(2，-1)為中點的弦所在直線的方程; (2)斜率為2的相交弦中點的軌跡方程; (3)過Q(8,2)的直線被橢圓截得的弦中點的軌跡方程。 第二部分：鞏固練習 1.設為橢圓的焦點，P為橢圓上一點，則的周長是() A.16B.8C.D.無法確定 2.橢圓的兩個焦點之間的距離為() A.12B.4C.3D.2 3.橢圓的一個焦點是(0,2)，那么等于() A.-1B.1C.D.- 4.已知橢圓的焦點是，P是橢圓上的一個動點，如果延長到,使得,那么動點的軌跡是() A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線 5.已知橢圓的焦點在軸上，則的取值范圍是__________. 6.橢圓的焦點坐標是___________. 7.橢圓的焦距為2，則正數(shù)的值____________. 數(shù)學學習方法 1、建立數(shù)學糾錯本。做作業(yè)或復習時做錯了題，一旦搞明白，決不放過，建立一本錯誤登記本，以降低重復性錯誤，不怕第一次不會，不怕第一次出錯，就怕下一次還犯同樣的錯誤把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、 防錯。達到：平時作業(yè)、課外做題及考試中，對出錯的數(shù)學題建立錯題集很有必要。 2、記憶數(shù)學規(guī)律和數(shù)學小結(jié)論。 3、經(jīng)常進行一題多解，一題多變，從多側(cè)面、多角度思考問題，挖掘問題的實質(zhì)。 4、經(jīng)常在做題后進行一定的“反思”，思考一下本題所用的基礎知識，數(shù)學思想方法是什么，為什么要這樣想，本題的分析方法與解法，在解其它問題時，是否也用到過。無論是作業(yè)還是測驗，都應把準確性放在第一位，通法放在第一位。 5、理解和弄懂所學的數(shù)學知識，知其然并知其所以然。學習不僅要理解和記住概念、定理、公式、法則等，而且還要想一想它們是如何得來的，與前面的知識是怎樣聯(lián)系著的，表達中省略了什么，關鍵在哪里，對知識是否有新的認識，有否想到其他的解法等等。這樣細加分析、考慮后，就會對內(nèi)容增添某些注解，補充一些新的解法或產(chǎn)生新的認識等。 6、把學過內(nèi)容貫串起來，加以融會貫通，提煉出它的精神實質(zhì)，抓住重點、線索和基本思想方法，組織整理成精煉的內(nèi)容。這時由于知識出現(xiàn)高度概括，就更能促進知識的遷移，也更有利于進一步學習。 怎么樣才能打好數(shù)學基礎 第一，重視數(shù)學公式。有很多同學數(shù)學學不好就是因為對概念和公式不夠重視，具體的表現(xiàn)為對數(shù)學概念的理解只是停留在表明，不去挖掘引申的含義，對數(shù)學概念的特殊情況不明白。還有對數(shù)學概念和公式有的學生只是死記硬背，學生缺乏對概念的理解。 還有一部分同學不重視對數(shù)學公式的記憶。其實記憶是理解的基礎。我們設想如果你不能將數(shù)學公式爛熟于心，那么又怎么能夠在數(shù)學題目中熟練的應用呢? 第二，就是總結(jié)那些相似的數(shù)學題目。當我們養(yǎng)成了總結(jié)歸納的習慣，那么的學生就會知道自己在解決數(shù)學題目的時候哪些是自己比較擅長的，哪些是自己還不足的。 同時善于總結(jié)也會明白自己掌握哪些數(shù)學的解題方法，只有這樣你才能夠真正掌握了數(shù)學的解題技巧。其實，做到總結(jié)和歸納是學會數(shù)學的關鍵，如果學生不會做到這一點那么久而久之，不會的數(shù)學題目還是不會。 乘法與因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b||a|+|b| |a-b||a|+|b| |a|=ab |a-b||a|-|b| -|a||a| 一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a -b-(b2-4ac)/2a 根與系數(shù)的關系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韋達定理 判別式 b2-4ac=0 注：方程有兩個相等的實根 b2-4ac0 注：方程有兩個不等的實根 b2-4ac0 注：方程沒有實根，有共軛復數(shù)根 某些數(shù)列前n項和 1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82++n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圓半徑 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角 由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=?時也滿足B?A。解含有參數(shù)的集合問題時，要特別注意當參數(shù)在某個范圍內(nèi)取值時所給的集合可能是空集這種情況。 忽視集合元素的三性致誤 集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大，特別是帶有字母參數(shù)的集合，實際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。 混淆命題的否定與否命題 命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個不同的概念，命題p的否定是否定命題所作的判斷，而“否命題”是對“若p，則q”形式的命題而言，既要否定條件也要否定結(jié)論。 充分條件、必要條件顛倒致誤 對于兩個條件A，B，如果A?B成立，則A是B的充分條件，B是A的必要條件;如果B?A成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件;如果A?B，則A，B互為充分必要條件。解題時最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時一定要根據(jù)充分條件和必要條件的概念作出準確的判斷。 “或”“且”“非”理解不準致誤 命題p∨q真?p真或q真，命題p∨q假?p假且q假(概括為一真即真);命題p∧q真?p真且q真，命題p∧q假?p假或q假(概括為一假即假);綈p真?p假，綈p假?p真(概括為一真一假)。求參數(shù)取值范圍的題目，也可以把“或”“且”“非”與集合的“并”“交”“補”對應起來進行理解，通過集合的運算求解。 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間理解不準致誤 在研究函數(shù)問題時要時時刻刻想到“函數(shù)的圖像”，學會從函數(shù)圖像上去分析問題、尋找解決問題的方法。對于函數(shù)的幾個不同的單調(diào)遞增(減)區(qū)間，切忌使用并集，只要指明這幾個區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即可。 判斷函數(shù)奇偶性忽略定義域致誤 判斷函數(shù)的奇偶性，首先要考慮函數(shù)的定義域，一個函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個函數(shù)的定義域關于原點對稱，如果不具備這個條件，函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。 函數(shù)零點定理使用不當致誤 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)的曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，但f(a)f(b)>0時，不能否定函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)有零點。函數(shù)的零點有“變號零點”和“不變號零點”，對于“不變號零點”函數(shù)的零點定理是“無能為力”的，在解決函數(shù)的零點問題時要注意這個問題。 三角函數(shù)的單調(diào)性判斷致誤 對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)性，當ω>0時，由于內(nèi)層函數(shù)u=ωx+φ是單調(diào)遞增的，所以該函數(shù)的單調(diào)性和y=sin x的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)y=sin x的單調(diào)區(qū)間解決;但當ω<0時，內(nèi)層函數(shù)u=ωx+φ是單調(diào)遞減的，此時該函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)y=sinx的單調(diào)性相反，就不能再按照函數(shù)y=sinx的單調(diào)性解決，一般是根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性將內(nèi)層函數(shù)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再加以解決。對于帶有絕對值的三角函數(shù)應該根據(jù)圖像，從直觀上進行判斷。 忽視零向量致誤 零向量是向量中最特殊的向量，規(guī)定零向量的長度為0，其方向是任意的，零向量與任意向量都共線。它在向量中的位置正如實數(shù)中0的位置一樣，但有了它容易引起一些混淆，稍微考慮不到就會出錯，考生應給予足夠的重視。 向量夾角范圍不清致誤 解題時要全面考慮問題。數(shù)學試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解題時把這些因素考慮到，是解題成功的關鍵，如當a·b<0時，a與b的夾角不一定為鈍角，要注意θ=π的情況。 an與Sn關系不清致誤 在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項an與其前n項和Sn之間存在下列關系：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2。這個關系對任意數(shù)列都是成立的，但要注意的是這個關系式是分段的，在n=1和n≥2時這個關系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是解題中經(jīng)常出錯的一個地方，在使用這個關系式時要牢牢記住其“分段”的特點。 對數(shù)列的定義、性質(zhì)理解錯誤 等差數(shù)列的前n項和在公差不為零時是關于n的常數(shù)項為零的二次函數(shù);一般地，有結(jié)論“若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=0”;在等差數(shù)列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈Nx)是等差數(shù)列。 數(shù)列中的最值錯誤 數(shù)列問題中其通項公式、前n項和公式都是關于正整數(shù)n的函數(shù)，要善于從函數(shù)的觀點認識和理解數(shù)列問題。數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關系是高考的命題重點，解題時要注意把n=1和n≥2分開討論，再看能不能統(tǒng)一。在關于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸的遠近而定。 錯位相減求和項處理不當致誤 錯位相減求和法的適用條件：數(shù)列是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項的乘積所組成的，求其前n項和。基本方法是設這個和式為Sn，在這個和式兩端同時乘以等比數(shù)列的公比得到另一個和式，這兩個和式錯一位相減，就把問題轉(zhuǎn)化為以求一個等比數(shù)列的前n項和或前n-1項和為主的求和問題.這里最容易出現(xiàn)問題的就是錯位相減后對剩余項的處理。 不等式性質(zhì)應用不當致誤 在使用不等式的基本性質(zhì)進行推理論證時一定要準確，特別是不等式兩端同時乘以或同時除以一個數(shù)式、兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件，如果忽視了不等式性質(zhì)成立的前提條件就會出現(xiàn)錯誤。 忽視基本不等式應用條件致誤 利用基本不等式a+b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數(shù)的最值時，務必注意a，b為正數(shù)(或a，b非負)，ab或a+b其中之一應是定值，特別要注意等號成立的條件。對形如y=ax+bx(a，b>0)的函數(shù)，在應用基本不等式求函數(shù)最值時，一定要注意ax，bx的'符號，必要時要進行分類討論，另外要注意自變量x的取值范圍，在此范圍內(nèi)等號能否取到。 一、指數(shù)函數(shù) (一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算 1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈_. 當是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù).此時，的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(shù)(radicalexponent)，叫做被開方數(shù)(radicand). 當是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成±(>0).由此可得：負數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。 注意：當是奇數(shù)時，當是偶數(shù)時， 2.分數(shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定： 0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義 指出：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪. 3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) (二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R. 注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1. 2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【第三章：第三章函數(shù)的應用】 1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。 2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。即： 方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點. 3、函數(shù)零點的求法： 求函數(shù)的零點： (1)(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根; (2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點. 4、二次函數(shù)的零點： 二次函數(shù). 1)△>0，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點. 2)△=0，方程有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點. 3)△<0，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點. 3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型 【課 型】新授課 【教學目標】 結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義, 理解它們的增長差異性. 【教學重點、難點】 1. 教學重點 將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異，結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義. 2.教學難點 選擇合適的數(shù)學模型分析解決實際問題. 【學法與教學用具】 1. 學法：學生通過閱讀教材，動手畫圖，自主學習、思考，并相互討論，進行探索. 2.教學用具：多媒體. 【教學過程】 (一)引入實例，創(chuàng)設情景. 教師引導學生閱讀例1，分析其中的數(shù)量關系，思考應當選擇怎樣的函數(shù)模型來描述;由學生自己根據(jù)數(shù)量關系，歸納概括出相應的函數(shù)模型，寫出每個方案的函數(shù)解析式，教師在數(shù)量關系的分析、函數(shù)模型的選擇上作指導. (二)互動交流，探求新知. 1. 觀察數(shù)據(jù)，體會模型. 教師引導學生觀察例1表格中三種方案的數(shù)量變化情況，體會三種函數(shù)的增長差異，說出自己的發(fā)現(xiàn)，并進行交流. 2. 作出圖象，描述特點. 教師引導學生借助計算器作出三個方案的函數(shù)圖象，分析三種方案的不同變化趨勢，并進行描述，為方案選擇提供依據(jù). (三)實例運用，鞏固提高. 1. 教師引導學生分析影響方案選擇的因素，使學生認識到要做出正確選擇除了考慮每天的收益，還要考慮一段時間內(nèi)的總收益.學生通過自主活動，分析整理數(shù)據(jù)，并根據(jù)其中的信息做出推理判斷，獲得累計收益并給出本例的完整解答，然后全班進行交流. 2. 教師引導學生分析例2中三種函數(shù)的不同增長情況對于獎勵模型的影響，使學生明確問題的實質(zhì)就是比較三個函數(shù)的增長情況，進一步體會三種基本函數(shù)模型在實際中廣泛應用，體會它們的增長差異. 3.教師引導學生分析得出：要對每一個獎勵模型的獎金總額是否超出5萬元，以及獎勵比例是否超過25%進行分析，才能做出正確選擇，學會對數(shù)據(jù)的特點與作用進行分析、判斷。 4.教師引導學生利用解析式，結(jié)合圖象，對例2的三個模型的增長情況進行分析比較，寫出完整的解答過程.進一步認識三個函數(shù)模型的增長差異，并掌握解答的規(guī)范要求. 5.教師引導學生通過以上具體函數(shù)進行比較分析，探究冪函數(shù)(>0)、指數(shù)函數(shù)(>1)、對數(shù)函數(shù)(>1)在區(qū)間(0，+∞)上的增長差異，并從函數(shù)的性質(zhì)上進行研究、論證，同學之間進行交流總結(jié)，形成結(jié)論性報告.教師對學生的結(jié)論進行評析，借助信息技術(shù)手段進行驗證演示. 6. 課堂練習 教材P98練習1、2，并由學生演示，進行講評。 (四)歸納總結(jié)，提升認識. 教師通過計算機作圖進行總結(jié)，使學生認識直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型的含義及其差異，認識數(shù)學與現(xiàn)實生活、與其他學科的密切聯(lián)系，從而體會數(shù)學的實用價值和內(nèi)在變化規(guī)律. (五)布置作業(yè) 教材P107練習第2題 收集一些社會生活中普遍使用的遞增的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實例，對它們的增長速度進行比較，了解函數(shù)模型的廣泛應用，并思考。有時同一個實際問題可以建立多個函數(shù)模型，在具體應用函數(shù)模型時，應該怎樣選用合理的函數(shù)模型. 3.2.2 函數(shù)模型的應用實例(Ⅰ) 【課 型】新授課 【教學目標】 能夠找出簡單實際問題中的函數(shù)關系式，初步體會應用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決實際問題. 【教學重點與難點】 1.教學重點：運用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決一些實際問題. 2. 教學難點：將實際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學模型. 【學法與教學用具】 1. 學法：學生自主閱讀教材，采用嘗試、討論方式進行探究. 2. 教學用具：多媒體 【教學過程】 (一)創(chuàng)設情景，揭示課題 引例：大約在一千五百年前，大數(shù)學家孫子在《孫子算經(jīng)》中記載了這樣的一道題：“今有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雛兔各幾何?”這四句的意思就是：有若干只有幾只雞和兔?你知道孫子是如何解答這個“雞兔同籠”問題的嗎?你有什么更好的方法?老師介紹孫子的大膽解法：他假設砍去每只雞和兔一半的腳，則每只雞和兔就變成了“獨腳雞”和“雙腳兔”.這樣，“獨腳雞”和“雙腳兔”腳的數(shù)量與它們頭的數(shù)量之差，就是兔子數(shù)，即：47-35=12;雞數(shù)就是：35-12=23. 比例激發(fā)學生學習興趣，增強其求知欲望. 可引導學生運用方程的思想解答“雞兔同籠”問題. (二)結(jié)合實例，探求新知 例1. 某列火車眾北京西站開往石家莊，全程277km，火車出發(fā)10min開出13km后，以120km/h勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時間t之間的關系式，并求火車離開北京2h內(nèi)行駛的路程. 探索： 1)本例所涉及的變量有哪些?它們的取值范圍怎樣; 2)所涉及的變量的關系如何? 3)寫出本例的解答過程. 老師提示：路程S和自變量t的取值范圍(即函數(shù)的定義域)，注意t的實際意義. 學生獨立思考，完成解答，并相互討論、交流、評析. 例2.某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只定價20元，茶杯每只定價5元，該商店制定了兩種優(yōu)惠辦法： 1)本例所涉及的變量之間的關系可用何種函數(shù)模型來描述? 2)本例涉及到幾個函數(shù)模型? 3)如何理解“更省錢?”; 4)寫出具體的解答過程. 在學生自主思考，相互討論完成本例題解答之后，老師小結(jié)：通過以上兩例，數(shù)學模型是用數(shù)學語言模擬現(xiàn)實的一種模型，它把實際問題中某些事物的主要特征和關系抽象出來，并用數(shù)學語言來表達，這一過程稱為建模，是解應用題的關鍵。數(shù)學模型可采用各種形式，如方程(組)，函數(shù)解析式，圖形與網(wǎng)絡等. 【數(shù)學知識點總結(jié)】相關文章： 數(shù)學相似知識點總結(jié)03-29 數(shù)學圓知識點總結(jié)11-03 初中數(shù)學知識點總結(jié)01-23 中考數(shù)學知識點總結(jié)08-11 高二數(shù)學的知識點總結(jié)12-02數(shù)學知識點總結(jié)4
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