1. <rp id="zsypk"></rp>

      2. 線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

        時(shí)間:2023-05-26 18:51:05 總結(jié) 我要投稿
        • 相關(guān)推薦

        線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

          線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,它的研究對(duì)象是向量,向量空間,線性變換和有限維的線性方程組。下面是小編想跟大家分享的線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié),歡迎大家瀏覽。

        線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

          線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 篇1

          第一章行列式

          知識(shí)點(diǎn)1:行列式、逆序數(shù)

          知識(shí)點(diǎn)2:余子式、代數(shù)余子式

          知識(shí)點(diǎn)3:行列式的性質(zhì)

          知識(shí)點(diǎn)4:行列式按一行(列)展開(kāi)公式

          知識(shí)點(diǎn)5:計(jì)算行列式的方法

          知識(shí)點(diǎn)6:克拉默法則

          第二章矩陣

          知識(shí)點(diǎn)7:矩陣的概念、線性運(yùn)算及運(yùn)算律

          知識(shí)點(diǎn)8:矩陣的乘法運(yùn)算及運(yùn)算律

          知識(shí)點(diǎn)9:計(jì)算方陣的冪

          知識(shí)點(diǎn)10:轉(zhuǎn)置矩陣及運(yùn)算律

          知識(shí)點(diǎn)11:伴隨矩陣及其性質(zhì)

          知識(shí)點(diǎn)12:逆矩陣及運(yùn)算律

          知識(shí)點(diǎn)13:矩陣可逆的判斷

          知識(shí)點(diǎn)14:方陣的行列式運(yùn)算及特殊類型的矩陣的運(yùn)算

          知識(shí)點(diǎn)15:矩陣方程的求解

          知識(shí)點(diǎn)16:初等變換的概念及其應(yīng)用

          知識(shí)點(diǎn)17:初等方陣的概念

          知識(shí)點(diǎn)18:初等變換與初等方陣的關(guān)系

          知識(shí)點(diǎn)19:等價(jià)矩陣的概念與判斷

          知識(shí)點(diǎn)20:矩陣的子式與最高階非零子式

          知識(shí)點(diǎn)21:矩陣的秩的概念與判斷

          知識(shí)點(diǎn)22:矩陣的.秩的性質(zhì)與定理

          知識(shí)點(diǎn)23:分塊矩陣的概念與運(yùn)算、特殊分塊陣的運(yùn)算

          知識(shí)點(diǎn)24:矩陣分塊在解題中的技巧舉例

          第三章向量

          知識(shí)點(diǎn)25:向量的概念及運(yùn)算

          知識(shí)點(diǎn)26:向量的線性組合與線性表示

          知識(shí)點(diǎn)27:向量組之間的線性表示及等價(jià)

          知識(shí)點(diǎn)28:向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念

          知識(shí)點(diǎn)29:線性表示與線性相關(guān)性的關(guān)系

          知識(shí)點(diǎn)30:線性相關(guān)性的判別法

          知識(shí)點(diǎn)31:向量組的最大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念

          知識(shí)點(diǎn)32:矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系

          知識(shí)點(diǎn)33:求向量組的最大無(wú)關(guān)組

          知識(shí)點(diǎn)34:有關(guān)向量組的定理的綜合運(yùn)用

          知識(shí)點(diǎn)35:內(nèi)積的概念及性質(zhì)

          知識(shí)點(diǎn)36:正交向量組、正交陣及其性質(zhì)

          知識(shí)點(diǎn)37:向量組的正交規(guī)范化、施密特正交化方法

          知識(shí)點(diǎn)38:向量空間(數(shù)一)

          知識(shí)點(diǎn)39:基變換與過(guò)渡矩陣(數(shù)一)

          知識(shí)點(diǎn)40:基變換下的坐標(biāo)變換(數(shù)一)

          第四章 線性方程組

          知識(shí)點(diǎn)41:齊次線性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)

          知識(shí)點(diǎn)42:非齊次方程組解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)

          知識(shí)點(diǎn)43:非齊次線性線性方程組解的各種情形

          知識(shí)點(diǎn)44:用初等行變換求解線性方程組

          知識(shí)點(diǎn)45:線性方程組的公共解、同解

          知識(shí)點(diǎn)46:方程組、矩陣方程與矩陣的乘法運(yùn)算的關(guān)系

          知識(shí)點(diǎn)47:方程組、矩陣與向量之間的聯(lián)系及其解題技巧舉例

          第五章矩陣的特征值與特征向量

          知識(shí)點(diǎn)48:特征值與特征向量的概念與性質(zhì)

          知識(shí)點(diǎn)49:特征值和特征向量的求解

          知識(shí)點(diǎn)50:相似矩陣的概念及性質(zhì)

          知識(shí)點(diǎn)51:矩陣的相似對(duì)角化

          知識(shí)點(diǎn)52:實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化.

          知識(shí)點(diǎn)53:利用相似對(duì)角化求矩陣和矩陣的冪

          第六章二次型

          知識(shí)點(diǎn)54:二次型及其矩陣表示

          知識(shí)點(diǎn)55:矩陣的合同

          知識(shí)點(diǎn)56 : 矩陣的等價(jià)、相似與合同的關(guān)系

          知識(shí)點(diǎn)57:二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

          知識(shí)點(diǎn)58:用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

          知識(shí)點(diǎn)59:用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

          知識(shí)點(diǎn)60:正定二次型的概念及判斷

          線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 篇2

          行列式

          一、行列式概念和性質(zhì)

          1、逆序數(shù):所有的逆序的總數(shù)

          2、行列式定義:不同行不同列元素乘積代數(shù)和

          3、行列式性質(zhì):(用于化簡(jiǎn)行列式)

          (1)行列互換(轉(zhuǎn)置),行列式的值不變

          (2)兩行(列)互換,行列式變號(hào)

         。3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式

         。4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是兩組數(shù)之和,那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式之和。

          (5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不變。

         。6)兩行成比例,行列式的值為0。

          二、重要行列式

          1、上(下)三角(主對(duì)角線)行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積

          2、副對(duì)角線行列式的值等于副對(duì)角線元素的乘積乘

          3、Laplace展開(kāi)式:(A是m階矩陣,B是n階矩陣),則


          4、n階(n≥2)范德蒙德行列式


          ★5、對(duì)角線的元素為a,其余元素為b的行列式的值:


          三、按行(列)展開(kāi)

          1、按行展開(kāi)定理:

         。1)任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值

          (2)行列式中某一行(列)各個(gè)元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0

          四、克萊姆法則

          1、克萊姆法則:

         。1)非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0,那么方程為唯一解

         。2)如果非齊次線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同解,則它的系數(shù)行列式必為0

          (3)若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0,則齊次線性方程組只有0解;如果方程組有非零解,那么必有D=0。


          矩陣

          一、矩陣的運(yùn)算

          1、矩陣乘法注意事項(xiàng):

         。1)矩陣乘法要求前列后行一致;

         。2)矩陣乘法不滿足交換律;(因式分解的公式對(duì)矩陣不適用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)時(shí),可以用交換律)

         。3)AB=O不能推出A=O或B=O。

          二、矩陣的逆運(yùn)算

          1、逆的求法:

         。1)A為抽象矩陣:由定義或性質(zhì)求解

          (2)A為數(shù)字矩陣:(A|E)→初等行變換→(E|A-1)

          三、矩陣的初等變換

          1、初等行(列)變換定義:

         。1)兩行(列)互換;

         。2)一行(列)乘非零常數(shù)c

         。3)一行(列)乘k加到另一行(列)

          ★四、矩陣的秩

          1、秩的定義:非零子式的最高階數(shù)

          注:

         。1)r(A)=0意味著所有元素為0,即A=O

         。2)r(An×n)=n(滿秩)←→|A|≠0←→A可逆;r(A)<n←→|A|=0←→A不可逆;

          (3)r(A)=r(r=1、2、…、n-1)←→r階子式非零且所有r+1子式均為0。

          2、秩的求法:

         。1)A為抽象矩陣:由定義或性質(zhì)求解;

         。2)A為數(shù)字矩陣:A→初等行變換→階梯型(每行第一個(gè)非零元素下面的元素均為0),則r(A)=非零行的行數(shù)

          五、伴隨矩陣

          六、分塊矩陣

          1、分塊矩陣的乘法:要求前列后行分法相同。

          2、分塊矩陣求逆:


          向量

          一、向量的概念及運(yùn)算

          1、長(zhǎng)度定義:||α||=

          二、線性組合和線性表示

          1、線性表示的`充要條件:

          非零列向量β可由α1,α2,…,αs線性表示

          (1)←→非齊次線性方程組(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=β有解。

          ★(2)←→r(α1,α2,…,αs)=r(α1,α2,…,αs,β)(系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,用于大題第一步的檢驗(yàn))

          2、線性表示的充分條件:

          若α1,α2,…,αs線性無(wú)關(guān),α1,α2,…,αs,β線性相關(guān),則β可由α1,α2,…,αs線性表示。

          3、線性表示的求法:(大題第二步)

          設(shè)α1,α2,…,αs線性無(wú)關(guān),β可由其線性表示。

         。é1,α2,…,αs|β)→初等行變換→(行最簡(jiǎn)形|系數(shù))

          行最簡(jiǎn)形:每行第一個(gè)非0的數(shù)為1,其余元素均為0

          三、線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)

          1、線性相關(guān)注意事項(xiàng):

          (1)α線性相關(guān)←→α=0

         。2)α1,α2線性相關(guān)←→α1,α2成比例

          2、線性相關(guān)的充要條件:

          向量組α1,α2,…,αs線性相關(guān)

         。1)←→有個(gè)向量可由其余向量線性表示;

          (2)←→齊次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解;

          ★(3)←→r(α1,α2,…,αs)<s 即秩小于個(gè)數(shù)

          3、線性相關(guān)的充分條件:

          (1)向量組含有零向量或成比例的向量必相關(guān)

         。4)以少表多,多必相關(guān)

          ★推論:n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)

          4、線性無(wú)關(guān)的充要條件:

          向量組α1,α2,…,αs線性無(wú)關(guān)

         。1)←→任意向量均不能由其余向量線性表示;

          (2)←→齊次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解

         。3)←→r(α1,α2,…,αs)=s

          特別地,n個(gè)n維向量α1,α2,…,αn線性無(wú)關(guān)

          ←→r(α1,α2,…,αn)=n ←→|α1,α2,…,αn |≠0 ←→矩陣可逆

          5、線性無(wú)關(guān)的充分條件:

          (1)整體無(wú)關(guān),部分無(wú)關(guān)

         。2)低維無(wú)關(guān),高維無(wú)關(guān)

         。3)正交的非零向量組線性無(wú)關(guān)

          (4)不同特征值的特征向量無(wú)關(guān)

          6、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)判定

         。1)定義法

          ★(2)秩:若小于階數(shù),線性相關(guān);若等于階數(shù),線性無(wú)關(guān)

          四、極大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩

          1、極大線性無(wú)關(guān)組不唯一

          2、向量組的秩:極大無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)成為向量組的秩

          對(duì)比:矩陣的秩:非零子式的最高階數(shù)

          ★注:

          向量組α1,α2,…,αs的秩與矩陣A=(α1,α2,…,αs)的秩相等

          ★3、極大線性無(wú)關(guān)組的求法

         。1)α1,α2,…,αs為抽象的:定義法

          (2)α1,α2,…,αs為數(shù)字的:(α1,α2,…,αs)→初等行變換→階梯型矩陣

          則每行第一個(gè)非零的數(shù)對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無(wú)關(guān)組

          五、Schmidt正交化

          1、Schmidt正交化

          設(shè)α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)

         。1)正交化

          令β1=α1


         。2)單位化


          線性方程組

          一、解的判定與性質(zhì)

          1、齊次方程組:

          (1)只有零解←→r(A)=n(n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個(gè)數(shù))

         。2)有非零解←→r(A)<n

          2、非齊次方程組:

         。1)無(wú)解←→r(A)<r(A|b)←→r(A)=r(A)-1

         。2)唯一解←→r(A)=r(A|b)=n

          (3)無(wú)窮多解←→r(A)=r(A|b)<n

          3、解的性質(zhì):

         。1)若ξ1,ξ2是Ax=0的解,則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

          (2)若ξ是Ax=0的解,η是Ax=b的解,則ξ+η是Ax=b的解

         。3)若η1,η2是Ax=b的解,則η1-η2是Ax=0的解

          二、基礎(chǔ)解系

          ★1、重要結(jié)論:(證明也很重要)

          設(shè)A是m×n階矩陣,B是n×s階矩陣,AB=O

         。1)B的列向量均為方程Ax=0的解

          (2)r(A)+r(B)≤n

          2、總結(jié):基礎(chǔ)解系的求法

         。1)A為抽象的:由定義或性質(zhì)湊n-r(A)個(gè)線性無(wú)關(guān)的解

          (2)A為數(shù)字的:A→初等行變換→階梯型

          自由未知量分別取1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由未知量得到基礎(chǔ)解系

          三、解的結(jié)構(gòu)(通解)

          1、齊次線性方程組的通解(所有解)

          設(shè)r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系,

          則Ax=0的通解為k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r (其中k1,k2,…,kn-r為任意常數(shù))

          2、非齊次線性方程組的通解

          設(shè)r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系,η為Ax=b的特解,

          則Ax=b的通解為η+ k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r (其中k1,k2,…,kn-r為任意常數(shù))

          特征值與特征向量

          一、矩陣的特征值與特征向量

          1、特征值、特征向量的定義:

          設(shè)A為n階矩陣,如果存在數(shù)λ及非零列向量α,使得Aα=λα,稱α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量。

          2、特征多項(xiàng)式、特征方程的定義:

          |λE-A|稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式(λ的n次多項(xiàng)式)。

          |λE-A |=0稱為矩陣A的特征方程(λ的n次方程)。

          注:特征方程可以寫(xiě)為|A-λE|=0

          3、重要結(jié)論:

          (1)若α為齊次方程Ax=0的非零解,則Aα=0·α,即α為矩陣A特征值λ=0的特征向量

         。2)A的各行元素和為k,則(1,1,…,1)T為特征值為k的特征向量。

          (3)上(下)三角或主對(duì)角的矩陣的特征值為主對(duì)角線各元素。

          △4、總結(jié):特征值與特征向量的求法

         。1)A為抽象的:由定義或性質(zhì)湊

          (2)A為數(shù)字的:由特征方程法求解

          5、特征方程法:

         。1)解特征方程|λE-A|=0,得矩陣A的n個(gè)特征值λ1,λ2,…,λn

          注:n次方程必須有n個(gè)根(可有多重根,寫(xiě)作λ1=λ2=…=λs=實(shí)數(shù),不能省略)

         。2)解齊次方程(λiE-A)=0,得屬于特征值λi的線性無(wú)關(guān)的特征向量,即其基礎(chǔ)解系(共n-r(λiE-A)個(gè)解)

          二、相似矩陣

          1、相似矩陣的定義:

          設(shè)A、B均為n階矩陣,如果存在可逆矩陣P使得B=P-1AP,稱A與B相似,記作A~B

          2、相似矩陣的性質(zhì)

         。1)若A與B相似,則f(A)與f(B)相似

         。2)若A與B相似,B與C相似,則A與C相似

         。3)相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項(xiàng)式、特征方程、特征值、跡(即主對(duì)角線元素之和)

          三、矩陣的相似對(duì)角化

          1、相似對(duì)角化定義:如果A與對(duì)角矩陣相似,即存在可逆矩陣P,使得P-1AP=Λ=


          稱A可相似對(duì)角化。

          2、相似對(duì)角化的充要條件

          (1)A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

         。2)A的k重特征值有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

          3、相似對(duì)角化的充分條件:

         。1)A有n個(gè)不同的特征值(不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān))

         。2)A為實(shí)對(duì)稱矩陣

          4、重要結(jié)論:

         。1)若A可相似對(duì)角化,則r(A)為非零特征值的個(gè)數(shù),n-r(A)為零特征值的個(gè)數(shù)

          (2)若A不可相似對(duì)角化,r(A)不一定為非零特征值的個(gè)數(shù)

          四、實(shí)對(duì)稱矩陣

          1、性質(zhì)

         。1)特征值全為實(shí)數(shù)

         。2)不同特征值的特征向量正交

         。3)A可相似對(duì)角化,即存在可逆矩陣P使得P-1AP=Λ

         。4)A可正交相似對(duì)角化,即存在正交矩陣Q,使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

          二次型

          一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

          1、二次型:

         。1)一般形式

          (2)矩陣形式(常用)

          2、標(biāo)準(zhǔn)形:

          如果二次型只含平方項(xiàng),這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形(對(duì)角線)

          3、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法:

          (1)配方法:

          ★(2)正交變換法:

          二、慣性定理及規(guī)范形

          1、定義:

          正慣性指數(shù):標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為正慣性指數(shù),記為p;

          負(fù)慣性指數(shù):標(biāo)準(zhǔn)形中負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù),記為q;

          2、慣性定理:

          二次型無(wú)論選取怎樣的可逆線性變換為標(biāo)準(zhǔn)形,其正負(fù)慣性指數(shù)不變。

          注:

         。1)由于正負(fù)慣性指數(shù)不變,所以規(guī)范形唯一。

          (2)p=正特征值的個(gè)數(shù),q=負(fù)特征值的個(gè)數(shù),p+q=非零特征值的個(gè)數(shù)=r(A)

          三、合同矩陣

          1、定義:

          A、B均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣,若存在可逆矩陣C,使得B=CTAC,稱A與B合同

          △2、總結(jié):n階實(shí)對(duì)稱矩陣A、B的關(guān)系

          (1)A、B相似(B=P-1AP)←→相同的特征值

          (2)A、B合同(B=CTAC)←→相同的正負(fù)慣性指數(shù)←→相同的正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)

         。3)A、B等價(jià)(B=PAQ)←→r(A)=r(B)

          注:實(shí)對(duì)稱矩陣相似必合同,合同必等價(jià)

          四、正定二次型與正定矩陣

          1、正定的定義

          二次型xTAx,如果任意x≠0,恒有xTAx>0,則稱二次型正定,并稱實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定矩陣。

          2、n元二次型xTAx正定充要條件:

          (1)A的正慣性指數(shù)為n

         。2)A與E合同,即存在可逆矩陣C,使得A=CTC或CTAC=E

          (3)A的特征值均大于0

         。4)A的順序主子式均大于0(k階順序主子式為前k行前k列的行列式)

          3、總結(jié):二次型正定判定(大題)

         。1)A為數(shù)字:順序主子式均大于0

          (2)A為抽象:①證A為實(shí)對(duì)稱矩陣:AT=A;②再由定義或特征值判定

          4、重要結(jié)論:

         。1)若A是正定矩陣,則kA(k>0),Ak,AT,A-1,A*正定

         。2)若A、B均為正定矩陣,則A+B正定

        【線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】相關(guān)文章:

        知識(shí)點(diǎn)總結(jié)11-22

        《詩(shī)經(jīng)》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)08-23

        物理的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)06-09

        電場(chǎng)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)12-01

        物理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)03-26

        中考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)05-08

        化學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)06-25

        【精選】化學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)06-27

        數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)04-16

        整式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)05-20

        99热这里只有精品国产7_欧美色欲色综合色欲久久_中文字幕无码精品亚洲资源网久久_91热久久免费频精品无码
          1. <rp id="zsypk"></rp>