初中數(shù)學(xué)《從梯子的傾斜程度談起》優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過(guò)程，理解正弦和余弦的意義.
2.能夠運(yùn)用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比. 3.能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.
4.理解銳角三角函數(shù)的意義.
(二)能力訓(xùn)練要求
1.經(jīng)歷類比、猜想等過(guò)程.發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).
2.體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，并利用它分析、解決問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力.
(三)情感與價(jià)值觀要求
1.積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.
2.形成合作交流的意識(shí)以及獨(dú)立思考的習(xí)慣
教學(xué)重點(diǎn)
1.理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說(shuō)明.
2.能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.
3.能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.
教學(xué)難點(diǎn)
用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切.
教學(xué)方法
探索——交流法.
教具準(zhǔn)備
多媒體演示.
教學(xué)過(guò)程
�、�.創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題，引入新課
[師]我們?cè)谏弦还?jié)課曾討論過(guò)用傾斜角的對(duì)邊與鄰邊之比來(lái)刻畫梯子的傾斜程度，并且得出了當(dāng)傾斜角確定時(shí)，其對(duì)邊與斜邊之比隨之確定.也就是說(shuō)這一比值只與傾斜角有關(guān)，與直角三角形的大小無(wú)關(guān).并在此基礎(chǔ)上用直角三角形中銳角的對(duì)邊與鄰邊之比定義了正切.
現(xiàn)在我們提出兩個(gè)問(wèn)題：
[問(wèn)題1]當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎?
[問(wèn)題2]梯子的傾斜程度與這些比有關(guān)嗎?如果有，是怎樣的關(guān)系?
�、�.講授新課
1.正弦、余弦及三角函數(shù)的定義
多媒體演示如下內(nèi)容：
想一想：如圖
(1)直角三角形AB1C1
和直角三角形AB2C2有
什么關(guān)系?
(2) 有什么
關(guān)系? 呢?
(3)如果改變A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么結(jié)論?
(4)如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結(jié)論?
請(qǐng)同學(xué)們討論后回答.
[生]∵A1C1⊥BC1，A2C2⊥BC2，
∴A1C1//A2C2.
∴Rt△BA1C1∽R(shí)t△BA2C2.
(相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例).
由于A2是梯子A1B上的任意—點(diǎn)，所以，如果改變A2在梯子A1B上的位置，上述結(jié)論仍成立.
由此我們可得出結(jié)論：只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對(duì)邊.與斜邊的比值，傾斜角
的鄰邊與斜邊的比值隨之確定.也就是說(shuō)，這一比值只與傾斜角有關(guān)，而與直角三角形大小無(wú)關(guān).
[生]如果改變梯子A1B的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對(duì)邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變.
[師]我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)變化的過(guò)程.對(duì)邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變，同時(shí)，如果給定一個(gè)傾斜角的值，它的對(duì)邊與斜邊的'比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的.這是一種什么關(guān)系呢?
[生]函數(shù)關(guān)系.
[師]很好!上面我們有了和定義正切相同的基礎(chǔ)，接著我們類比正切還可以有如下定義：(用多媒體演示)
在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對(duì)邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦(sine)，記作sinA，即
sinA＝
∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine)，記作cosA，即
cosA=
銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(shù)(trigonometricfunction).
[師]你能用自己的語(yǔ)言解釋一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函數(shù)”呢?
[生]我們?cè)谇懊嬉延懻撨^(guò)，當(dāng)直角三角形中的銳角A確定時(shí).∠A的對(duì)邊與斜邊的比值，∠A的鄰邊與斜邊的比值，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值也都唯一確定.在“∠A的三角函數(shù)”概念中，∠A是自變量，其取值范圍是0°<A<90°；三個(gè)比值是因變量.當(dāng)∠A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).
2.梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關(guān)系
[師]我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA、cosA有關(guān)系呢?如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系?
[生]如圖所示，AB＝A1B1，
在Rt△ABC中，sinA= ，在
Rt△A1B1C中，sinA1= .
∵ ＜ ,
即sinA<sinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡，
所以梯子的傾斜程度與sinA有關(guān)系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度.
[生]同樣道理cosA= cosA1＝ ,
∵AB=A1B1 ＞ 即cosA>cosA1，
所以梯子的傾斜程度與cosA也有關(guān)系.cosA的值越小，梯子越陡.
[師]同學(xué)們分析得很棒，能夠結(jié)合圖形分析就更為妙哉!從理論上講正弦和余弦都可以刻畫梯子的傾斜程度，但實(shí)際中通常使用正切.
3.例題講解
多媒體演示.
[例1]如圖，在Rt△ABC
中，∠B=90°，AC＝
200.sinA＝0.6，求BC
的長(zhǎng).
分析：sinA不是“sin”與“A”的乘積，sinA表示∠A所在直角三角形它的對(duì)邊與斜邊的比值，已知sinA＝0.6， ＝0.6.
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200.
sinA＝0.6，即= 0.6，BC＝AC×0.6＝200×0.6=120.
思考：(1)cosA＝?
(2)sinC＝？ cosC＝?
(3)由上面計(jì)算，你能猜想出什么結(jié)論?
解：根據(jù)勾股定理，得
AB＝ =160.
在Rt△ABC中，CB＝90°.
cosA＝ ＝0.8，
sinC= =0.8，
cosC＝ ＝0.6，
由上面的計(jì)算可知
sinA＝cosC＝O.6，
cosA＝sinC＝0.8.
因?yàn)椤螦+∠C＝90°，所以，結(jié)論為“一個(gè)銳角的正弦等于它余角的余弦”“一個(gè)銳角的余弦等于它余角的正弦”.
[例2]做一做：
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝ ，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你還能得出類似例1的結(jié)論嗎?請(qǐng)用一般式表達(dá).
分析：這是正弦、余弦定義的進(jìn)一步應(yīng)用，同時(shí)進(jìn)一步滲透sin(90°-A)＝cosA，cos
(90°-A)=sinA.
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝ ，cosA＝ ,
∴AB= ,
sinB＝
根據(jù)勾股定理，得
BC2＝AB2-AC2＝( )2-102=
∴BC＝ .
∴cosB＝ ,[
sinA＝
可以得出同例1一樣的結(jié)論.
∵∠A+∠B=90°，
∴sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90°-A)；
cosA＝sinB＝sin(90°-A)，即cosA＝sin(90°-A).
�、�.隨堂練習(xí)
多媒體演示
1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.
分析：要求sinB，cosB，tanB，先要構(gòu)造∠B所在的直角三角形.根據(jù)等腰三角形“三
線合一”的性質(zhì)，可過(guò)A作AD⊥BC，D為垂足.
解：過(guò)A作AD⊥BC，D為垂足.
∴AB=AC，∴BD=DC= BC=3.
在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3，
∴AD＝4.
sinB＝ cosB＝ ,
tanB= .
2.在△ABC中，∠ C＝90°，sinA＝ ，BC=20，求△ABC的周長(zhǎng)和面積.
解：sinA= ，∵sinA= ，BC＝20，
∴AB＝ ＝＝25.
在Rt△BC中，AC＝ =15，
∴ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60，
△ABC的面積： AC×BC= ×15×20＝150
3.(2003年陜西)(補(bǔ)充練習(xí))
在△ABC中.∠C=90°，若tanA= ，
則sinA= .
解：如圖，tanA= = .
設(shè)BC=x，AC=2x，根據(jù)勾股定理，得
AB= .
∴sinA= .
�、�.課時(shí)小結(jié)
本節(jié)課我們類比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數(shù)的觀念認(rèn)識(shí)了三種三角函數(shù)，即在銳角A的三角函數(shù)概念中，∠A是自變量，其取值范圍是0°<∠A<90°；三個(gè)比值是因變量.當(dāng)∠A確定時(shí)，三個(gè)比值分別唯一確定；當(dāng)∠A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).類比前一節(jié)課的內(nèi)容，我們又進(jìn)一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系以及用正弦和余弦的定義來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.
�、�.課后作業(yè)
習(xí)題1、2第1、2、3、4題
�、�.活動(dòng)與探究
已知：如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，求證：BC2＝ABBD.(用正弦、余弦函數(shù)的定義證明)
[過(guò)程]根據(jù)正弦和余弦的定義，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一個(gè)直角三角形中，在Rt△ABC中，CD⊥AB.所以圖中含有三個(gè)直角三角形.例如∠B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，涉及線段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定義得cosB＝ ，cosB= .
[結(jié)果]在Rt△ABC中，cosB＝
又∵CD⊥AB.
∴在Rt△CDB中，cosB＝
∴ = BC2＝ABBD.
板書設(shè)計(jì)
§1.1.2 從梯子傾斜程度談起(二)
1.正弦、余弦的定義在Kt△ABC中，如果銳角A確定.
sinA＝ [
cosA＝
2.梯子的傾斜程度與sinA和cosA有關(guān)嗎?
sinA的值越大，梯子越陡
cosA的值越小，梯子越陡
3.例題講解
4.隨堂練習(xí)
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